C101이차식인 삼각함수의 최대최소3년 연속

교재 6문항 · 논술 기출 1문항

핵심

$\sin$ 이나 $\cos$ 에 대한 이차식은 치환해서 이차함수의 최대·최소로 바꾼다. 단 치환한 변수의 범위가 $-1\le t\le1$ 로 제한된다는 것이 보통의 이차함수와 다른 점이다.

해법

1 $\sin^2x=1-\cos^2x$ 로 한 종류로 통일한다.
2 $t=\cos x$ 로 치환하고 $t$ 의 범위를 적는다. 정의역이 제한되면 범위도 좁아진다.
3이차함수를 완전제곱꼴로 고쳐 꼭짓점을 찾는다.
4꼭짓점이 범위 안인지 밖인지로 나눠 최대·최소를 정한다.

공략

· 꼭짓점이 $-1\le t\le1$ 밖에 있으면 최대·최소는 끝점에서 나온다. 이 확인을 빠뜨리면 존재하지 않는 값을 답으로 쓰게 된다.
· 정의역이 $0\le x\le\pi$ 처럼 제한되면 $t$ 의 범위도 함께 좁아진다. 치환 직후 $t$ 의 범위를 다시 계산하는 줄이 핵심이다.
· 최댓값이나 최솟값이 되는 $t$ 를 구한 뒤 반드시 $x$ 로 되돌린다. 「그때의 $x$ 의 값」까지 묻는 경우가 많다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	4	1	1
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	4%/90문항	1%/72문항	3%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 한국기술교육대 9번16점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 03.삼각함수 40제 34번

실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 정의역이 $\displaystyle \left\{x \,\middle|\, 0 \le x \le \dfrac{\pi}{3}\right\}$ 인 함수 $\displaystyle f(x)=\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+b$ 의 최댓값을 $\displaystyle M$ , 최솟값을 $\displaystyle m$ 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle a=\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle b=1$ 일 때, $\displaystyle M$ 과 $\displaystyle m$ 의 값을 각각 구하시오. (8점)(2) $\displaystyle M=5$ , $\displaystyle m=-3$ 을 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle (a,\ b)$ 를 모두 구하시오. (8점) (16점)

교재와 닮은 점 · 교재 34번은 정의역이 제한된 f(x)=2cos^2(x+2π/3)-2cos(x+7π/6)+a의 최대·최소, 논술은 f(x)=cos^2(x-π/6)+a cos(x+π/3)+b의 최대 M·최소 m이다. 각을 치환해 t=sinθ의 이차함수로 바꾼 뒤 제한구간에서 최대최소를 잡는 절차가 같다.

다른 점 · 논술은 (2)에서 M=5, m=-3을 만족하는 (a,b)를 모두 구하게 해 꼭짓점 위치에 따른 경우분류가 더해졌다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅰ 03. 삼각함수 1034번

$\displaystyle{a > 1}$ 인 실수 $\displaystyle{a}$ 에 대하여 $\displaystyle{0 \le x \le 2\pi}$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle{f(x) = \left(a - \frac{1}{2}\right)\sin^2 x + \left|\cos x - \frac{1}{2a - 1}\right|}$ 이 있다. $\displaystyle{0 \le x \le \frac{\pi}{2}}$ 에서 $\displaystyle{x}$ 에 대한 방정식 $\displaystyle{\cos x = \frac{1}{2a - 1}}$ 의 실근을 $\displaystyle{\alpha}$ 라 할 때, 함수 $\displaystyle{f(x)}$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $\displaystyle{a}$ 의 최솟값은?

$0≤x≤α$ 에서 함수 $\displaystyle{f(x)}$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $\displaystyle{M_1}$ , $\displaystyle{m_1}$ 이라 하고, $\displaystyle{\alpha \le x \le 2\pi - \alpha}$ 에서 함수 $\displaystyle{f(x)}$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $\displaystyle{M_2}$ , $\displaystyle{m_2}$ 라 할 때, $\displaystyle{M_1 - m_1 = M_2 - m_2}$ 이다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 34번

정의역이 $\displaystyle{\left \{ x ~ |~ 0\le x\lt \pi \right \} }$ 인 함수
$\displaystyle{f(x)=2 \cos ^{2} \left ( x+ \dfrac {2} {3} \pi \right ) -2 \cos \left ( x+ \dfrac {7} {6} \pi \right ) +a}$
에 대하여 $\displaystyle{f(x)}$ 의 최솟값이 $\displaystyle{-3}$ 이고 $\displaystyle{f(x)}$ 가 $\displaystyle{x=b \pi }$ 에서 최댓값 $\displaystyle{c }$ 를 가질 때, $\displaystyle{a+b+c}$ 의 값은? (단, $\displaystyle{a }$ 는 상수이다.)

2025학년도 완성수학Ⅰ 02. 삼각함수 12번

다음은 $\displaystyle{0\lt \theta \lt 2\pi }$ 에서 함수

$\displaystyle{f(\theta )}$ $\displaystyle{= \dfrac {{3}} {{4 - 3 \sin ^{2} \theta }} - 4 \sin ^{2} \theta }$

의 최솟값을 구하는 과정이다.

$\displaystyle{4-3 \sin ^{2} \theta }$ $\displaystyle{=t}$ 로 놓으면
$\displaystyle{f(\theta )}$ $\displaystyle{= {~~(가)~~}}$
이때 $\displaystyle{t\gt 0}$ 이므로
$\displaystyle{{~~(가)~~} \ge {~~(나)~~}}$ $\displaystyle{\cdots \cdots }$ ㉠
이때 부등식 ㉠에서 등호는 $\displaystyle{\sin ^{2} \theta }$ $\displaystyle{= {~~(다)~~}}$ 일 때 성립한다.
따라서 함수 $\displaystyle{f(\theta )}$ 는 $\displaystyle{\sin ^{2} \theta }$ $\displaystyle{= {~~(다)~~}}$ 일 때, 최솟값 $\displaystyle{{{~~(나)~~}}}$ 를 갖는다.

위의 (가)에 알맞은 식을 $\displaystyle{g(t)}$ , (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 $\displaystyle{p }$ , $\displaystyle{q }$ 라 할 때, $\displaystyle{g \left ( - \dfrac {{1}} {{p+q}} \right ) }$ 의 값은?

2025학년도 완성수학Ⅰ 02. 삼각함수 13번

함수

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sin ^{{2}} \left ( \dfrac {{3}} {{2}} \pi -x \right ) +k \cos \left ( x+ \dfrac {{\pi }} {{2}} \right ) +k+1$

의 최댓값이 $\displaystyle 3$ 이 되도록 하는 실수 $\displaystyle k$ 의 값은?

같은 단원의 다른 개념

C112 사인법칙 : 외접원과의 관계기출 5공략 C098 삼각함수 각변환기출 3공략 C051 삼각방정식의 실근의 개수기출 3공략 C104 이차식의 삼각방정식기출 3공략 C107 삼각방정식이 실근을 가질 조건기출 3공략 C124 삼각형의 넓이기출 2공략 C116 코사인법칙기출 2공략 C047 삼각함수의 성질(각변환)기출 2공략