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C086합, 차와 곱의 관계를 이용하여 삼각함수의 식의 값 구하기

교재 4문항 · 논술 기출 1문항

핵심

sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta 와 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 는 한 쌍이다. (sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta 로 서로를 오갈 수 있다.

해법

  1. 1주어진 것이 합인지 곱인지 확인한다.
  2. 2제곱해서 sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1 을 쓰면 나머지 하나가 나온다.
  3. 3구하려는 식을 합과 곱으로만 표현한다.
  4. 4부호가 필요하면 각의 범위로 정한다.

공략

  • · sin⁡3θ+cos⁡3θ=(sin⁡+cos⁡)3−3sin⁡cos⁡(sin⁡+cos⁡)\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin+\cos)^3-3\sin\cos(\sin+\cos) 다. 세제곱의 합 공식을 그대로 적용하면 합과 곱만 남는다.
  • · sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta-\cos\theta 를 물으면 제곱이 1−2sin⁡cos⁡1-2\sin\cos 다. 부호는 각의 범위로 정해야 하므로 제곱근에서 바로 답하지 말 것.
  • · 두 값이 이차방정식의 두 근이라고 보면 합과 곱이 곧 계수다. 근과 계수의 관계로 옮겨 놓으면 문제가 단순해진다.
학년도202520262027
교재 문항 수22—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)2%/90문항3%/72문항0%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 가천대 15번10점변형2025학년도 수능완성 수학Ⅰ 02. 삼각함수 4번

상수 a\displaystyle a 와 π2<θ<π\displaystyle \dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi 에 대하여, 이차방정식 3x2−5 x+a=0\displaystyle 3x^2-\sqrt{5}\,x+a=0 의 해가 sin⁡θ\displaystyle \sin\theta , cos⁡θ\displaystyle \cos\theta 이다. sin⁡θ−cos⁡θ\displaystyle \sin\theta-\cos\theta 의 값을 b\displaystyle b 라 할 때, ab\displaystyle ab 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수능완성 4번은 이차방정식의 두 근으로 sinθ-cosθ 값을 만든 뒤 (sinθ-cosθ)²=1-2sinθcosθ 로 sinθcosθ를 구한다. 논술은 이차방정식의 두 근이 sinθ, cosθ 자체여서 근과 계수의 관계로 같은 항등식을 쓴다.

다른 점 · 논술은 θ의 범위로 sinθ-cosθ의 부호까지 정해 a와 b를 모두 구한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 6번

θ\displaystyle \theta 가 제4\displaystyle 4 사분면의 각이고 3sin⁡θ+cos⁡θ+1=0\displaystyle 3 \sin \theta + \cos \theta +1=0일 때, sin⁡θ+cos⁡θ\displaystyle \sin \theta + \cos \theta 의 값은?

2025학년도 완성수학Ⅰ 02. 삼각함수 4번

이차방정식 x2−4x−2\displaystyle x^{2} -4x-2=0\displaystyle =0의 두 근을 α\displaystyle \alpha , β\displaystyle \beta (α>β)\displaystyle (\alpha \gt \beta )라 할 때, sin⁡θ−cos⁡θ\displaystyle \sin \theta - \cos \theta =α−βα+β\displaystyle = \dfrac {{\alpha - \beta }} {{\alpha +\beta }}를 만족시키는 θ\displaystyle \theta 에 대하여 sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \sin \theta \cos \theta 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 03.삼각함수 28번

sin⁡θ<0\displaystyle \sin \theta \lt 0이고 3sin⁡θ−4tan⁡θ=4\displaystyle 3 \sin \theta -4 \tan \theta =4일 때, sin⁡2θ−cos⁡2θ\displaystyle \sin ^{2} \theta - \cos ^{2} \theta 의 값은?

2025학년도 특강수학Ⅰ 03. 삼각함수 0번

sin⁡θ+cos⁡θ=13\displaystyle{\sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{3}} 일 때, sin⁡4θ+cos⁡4θ\displaystyle{\sin ^{4} \theta+\cos ^{4} \theta} 의 값을 구하시오.

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