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C068자연수의 거듭제곱의 합

교재 5문항 · 논술 기출 1문항

핵심

∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2, ∑k2=n(n+1)(2n+1)6\sum k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6, ∑k3={n(n+1)2}2\sum k^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2. 세 공식과 시그마의 선형성만으로 다항식의 합은 전부 계산된다.

해법

  1. 1시그마 안의 식을 전개해 kk 의 다항식으로 만든다.
  2. 2차수별로 쪼개 공식에 대입한다.
  3. 3공통인수를 묶어 정리한다.
  4. 4구체적인 값이면 대입하고, 식이면 인수분해된 꼴로 남긴다.

공략

  • · ∑k3=(∑k)2\sum k^3=(\sum k)^2 이라는 관계는 기억해 두면 계산이 크게 준다. 세제곱의 합만 예외적으로 이런 성질을 갖는다.
  • · ∑k=1n(2k−1)=n2\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2 — 홀수의 합이 제곱수라는 사실은 문제를 알아보는 신호로도 쓰인다.
  • · 결과를 인수분해해 두면 뒤 문항에서 그대로 쓰인다. 전개된 채로 두면 다음 계산이 무거워진다.
학년도202520262027
교재 문항 수—5—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)0%/108문항7%/70문항0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 상명대 5번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 06.수학적귀납법 36제 27번

수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 이 아래의 조건을 만족시킬 때,(가) 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 an+1≠an\displaystyle a_{n+1}\neq a_n 이다.(나) ∑k=1nak=an 2+(n+1)an\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_n^{\,2}+(n+1)a_n 다음 물음에 답하시오. (10점)(1) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 의 첫째항 a1\displaystyle a_1 을 구하시오.(2) ∣∑k=1nak∣>900\displaystyle \left|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\right|>900 을 만족시키는 가장 작은 자연수 n\displaystyle n 을 구하시오.(1) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 의 첫째항 a1\displaystyle a_1 을 구하는 과정을 서술하시오. (3.9점)(2) n=\displaystyle n= __________ (6.1점)

교재와 닮은 점 · Σ로 주어진 관계식에서 n에 값을 넣고 이웃 항끼리 빼 일반항 관계를 뽑아내는 개념이 같다. 논술은 Σa_k=a_n^2+(n+1)a_n에서 n=1 대입과 계차로 a_n+a_{n+1}=-(n+1)을 얻는다.

다른 점 · 논술은 a_{n+1}≠a_n 조건으로 근을 배제하고 n의 홀짝에 따라 |Σ|>900을 따진다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 4번

수열 {an}\displaystyle{\left \{ a_{n} \right \} }이 모든 자연수 n\displaystyle{n }에 대하여
an=∑k=1n(2k+n)\displaystyle{a_{n} = \sum \limits _{k=1}^{n} (2k+n)}
을 만족시킬 때, ∑k=110ak\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{10} a_{k}}의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 5번

∑k=515(k−5)\displaystyle{\sum \limits _{k=5}^{15} (k-5)}의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 6번

∑k=1n(3k2+k)=∑k=1n(n2+15)\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{n} (3k^{2} +k)= \sum \limits _{k=1}^{n} (n^{2} +15)}를 만족시키는 자연수 n\displaystyle{n }의 값을 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 18번

∑k=19k2+∑k=19(−2k+1)\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{9} k^{2} + \sum \limits _{k=1}^{9} (-2k+1)의 값을 구하시오.

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