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C064등비수열의 합

교재 9문항 · 논술 기출 1문항

핵심

r≠1r\ne1 이면 Sn=a1(1−rn)1−rS_n=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}, r=1r=1 이면 Sn=na1S_n=na_1. 공비가 11 인 경우를 따로 확인하는 것이 이 공식의 전제다.

해법

  1. 1r=1r=1 인지 먼저 확인한다.
  2. 2a1a_1 과 rr 로 조건을 식 두 개로 만든다.
  3. 3두 식을 나누면 a1a_1 이 약분돼 rr 만의 방정식이 남는다.
  4. 4단서로 근을 고르고 묻는 값을 계산한다.

공략

  • · SnS_n 과 S2nS_{2n} 이 함께 나오면 S2nSn=1+rn\dfrac{S_{2n}}{S_n}=1+r^n 이다. 이 관계를 알면 연립이 한 줄로 끝난다.
  • · 1−rn1−r\dfrac{1-r^n}{1-r} 과 rn−1r−1\dfrac{r^n-1}{r-1} 은 같은 식이다. r>1r>1 이면 뒤쪽이 부호를 다루기 편하다.
  • · 공비가 음수면 SnS_n 이 nn 의 홀짝에 따라 크게 달라진다. 부등식 조건이 붙으면 홀수·짝수를 나눠 보는 것이 정석이다.
학년도202520262027
교재 문항 수—9—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)0%/108문항13%/70문항0%/10문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 상명대 4번10점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 34제 29번

모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 an<an+1\displaystyle a_n<a_{n+1} 이고, 첫째항 a1\displaystyle a_1 과 공비의 곱이 1인 등비수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 에 대하여 수열 {bn}\displaystyle \{b_n\} 을 bn=a3n−1\displaystyle b_n=a_{3n-1} 이라 하자. 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 의 첫째항에서 제 n\displaystyle n 항까지의 합을 An\displaystyle A_n , 수열 {bn}\displaystyle \{b_n\} 의 첫째항에서 제 n\displaystyle n 항까지의 합을 Bn\displaystyle B_n 이라 할 때, 2A9=7B3\displaystyle 2A_9=7B_3 을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오. (10점)(1) 등비수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 의 공비를 구하시오.(2) bnan>1024\displaystyle \dfrac{b_n}{a_n}>1024 를 만족시키는 가장 작은 자연수 n\displaystyle n 을 구하시오.(3) log⁡b3a5\displaystyle \log_{b_3}a_5 의 값을 구하시오.(1) 등비수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 의 공비를 구하는 과정을 서술하시오. (5.1점)(2) n=\displaystyle n= __________ (3.0점)(3) log⁡b3a5=\displaystyle \log_{b_3}a_5= __________ (1.9점)

교재와 닮은 점 · 교재 29번은 등비수열의 10항 합 S와 부분수열 {a_2n}의 5항 합 T의 비 S/T=5로 공비 r를 구하고, 논술은 b_n=a_{3n-1}의 합 B_3와 A_9의 관계 2A_9=7B_3으로 공비를 구한다. 등비수열 합 공식을 세워 r의 방정식으로 바꾸는 절차가 같다.

다른 점 · 논술은 부분수열 간격이 3이고 a_1r=1 조건, 증가수열 조건으로 근을 하나 걸러낸 뒤 추가 소문항이 붙는다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 10번

첫째항이 8\displaystyle 8 이고 공비가 −2\displaystyle -2인 등비수열 {an}\displaystyle \left \{ a_{n} \right \} 의 첫째항부터 제n\displaystyle n 항까지의 합을 Sn\displaystyle S_{n}이라 하자.  ∣ Sn ∣ >400\displaystyle ~|~ S_{n} ~|~ \gt 400을 만족시키는 홀수 n\displaystyle n 의 최솟값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 11번

첫째항이 1,\displaystyle 1, 공비가 2\displaystyle \sqrt {2}인 등비수열 {an}\displaystyle \left \{ a_{n} \right \} 에 대하여
1a1+1a3+1a5+1a7+1a9+1a11\displaystyle \dfrac {1} {a_{1}} + \dfrac {1} {a_{3}} + \dfrac {1} {a_{5}} + \dfrac {1} {a_{7}} + \dfrac {1} {a_{9}} + \dfrac {1} {a_{11}}

2026학년도 특강수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 12번

 ∣ a1 ∣ ≠ ∣ a2 ∣ \displaystyle ~|~ a_{1} ~|~ \ne ~|~ a_{2} ~|~ 인 등비수열 {an}\displaystyle \left \{ a_{n} \right \} 의 첫째항부터 제n\displaystyle n 항까지의 합을 Sn\displaystyle S_{n}이라 하고, 수열 {(−1)nan}\displaystyle \left \{ (-1)^{n} a_{n} \right \} 의 첫째항부터 제n\displaystyle n 항까지의 합을 Tn\displaystyle T_{n}이하 하자. S10=200,\displaystyle S_{10} =200, T10=40\displaystyle T_{10} =40일 때, a3a1\displaystyle \dfrac {a_{3}} {a_{1}}의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 06.수학적귀납법 15번

∑k=1921−k\displaystyle{\sum \limits _{k=1}^{9} 2^{1-k}}의 값을 구하시오.

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