C053지수함수의 넓이의 활용

두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ , $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 그래프가 점 $\displaystyle \mathrm{R}_1(2,\ 0)$ 에서 만난다. 직선 $\displaystyle y=1$ 이 두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ , $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ , $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 이라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{R}_1$ 의 넓이를 $\displaystyle a_1$ 이라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1$ 위의 점 중 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle 2$ 인 점을 $\displaystyle \mathrm{R}_2$ 라 하고, 직선 $\displaystyle y=2$ 가 두 함수 $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$ , $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ , $\displaystyle \mathrm{Q}_2$ 라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2\mathrm{R}_2$ 의 넓이를 $\displaystyle a_2$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $\displaystyle n$ 번째 얻은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{R}_n$ 의 넓이를 $\displaystyle a_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n+b_n=1-\frac{1}{2\times3^n}$ 을 만족시키는 수열 $\displaystyle \{b_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle 1458S_3$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 수평선(y=3, y=4 / y=n)이 두 지수·로그 곡선과 만나는 두 점의 x좌표 차를 밑변으로 삼각형 넓이를 계산하는 절차가 동일하다.

다른 점 · 논술은 이를 자연수 n으로 일반화해 넓이를 수열 a_n으로 놓고 b_n의 부분합까지 구하게 확장했다.

두 곡선 $\displaystyle y=2^x+3$ 과 $\displaystyle y=2^{x+1}$ 이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$ , 곡선 $\displaystyle y=2^x+3$ 이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ , 곡선 $\displaystyle y=2^{x+1}$ 이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 두 지수곡선의 교점의 x좌표를 지수방정식을 풀어 로그로 나타내고, 좌표축과의 교점을 밑변으로 삼아 삼각형의 넓이를 계산한다.

다른 점 · 교재는 x축 위의 점과 원점을 쓰고, 논술은 y축 위의 두 점 B, C를 밑변으로 쓴다.