C048로그함수의 그래프에서 미지수 구하기

교재 5문항 · 논술 기출 2문항

핵심

그래프 위의 점은 그 식을 만족한다 — 좌표를 대입하는 것이 전부다. 교점이면 두 식을 연립하고, 점근선이면 진수가 $0$ 이 되는 자리를 읽는다.

해법

1그림에서 좌표를 문자로 적을 수 있는 점을 모두 표시한다.
2각 점을 해당 곡선의 식에 대입해 관계식을 만든다.
3길이·넓이 조건을 그 좌표들의 식으로 옮긴다.
4연립해 미지수를 구하고 밑 조건으로 검증한다.

공략

· $y=\log_a(x+b)$ 의 점근선은 $x=-b$ 다. 그림에 그려진 수직 점근선이 곧 $b$ 를 알려 준다.
· $y=\log_2(x+a)$ 와 $y=\log_2(-x+a)$ 는 $y$ 축에 대칭이므로 교점이 $y$ 축 위에 있다. 대칭을 읽으면 좌표가 계산 없이 나온다.
· 곡선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건은 접하는 경우를 경계로 따진다. 접선의 기울기 조건을 함께 세우는 것이 정석이다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	3	2
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/99문항	5%/58문항	6%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 2문항

2026 상명대 1번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 23번

1이 아닌 두 자연수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle a:b=2:1$ 이고, 직선 $\displaystyle y=3$ 과 세 함수 $\displaystyle y=\log_2 x$ , $\displaystyle y=\log_a x$ , $\displaystyle y=\log_b x$ 의 그래프가 만나는 점을 각각 A, B, C라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{BC}}=1:8$ 을 만족시킬 때,(1) $\displaystyle \sqrt{a^3+b^3}$ 의 값을 구하시오.(2) 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 의 길이를 구하시오.(3) 점 C의 좌표를 구하시오.[답란] (1) $\displaystyle \sqrt{a^3+b^3}=$ ______ (5.2점) (2) 길이 $\displaystyle =$ ______ (2.7점) (3) 좌표 $\displaystyle =$ ______ (2.1점) 〔전체 10점〕

교재와 닮은 점 · 교재 23번은 직선 y=2와 세 곡선 y=log_2 x, log_a x, log_b x의 교점 A,B,C에서 AB:BC=2:3으로 a,b를, 논술은 직선 y=3과 같은 세 곡선의 교점에서 AC:BC=1:8로 a,b를 구한다. 교점의 x좌표를 2^3, a^3, b^3으로 적고 길이비를 세우는 풀이가 같다.

다른 점 · 직선의 높이와 비의 값, a:b 비만 바뀌었고 논술은 답을 자연수로 제한해 경우를 배제한다.

2026 서경대 7번10점동일유형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 23번

두 실수 $\displaystyle a,\ b$ 에 대하여 $\displaystyle 2<a<b$ 이고 $\displaystyle a:b=2:3$ 이다. 직선 $\displaystyle y=3$ 과 세 곡선 $\displaystyle y=\log_2 x$ , $\displaystyle y=\log_a x$ , $\displaystyle y=\log_b x$ 가 만나는 점을 각각 $\displaystyle A,\ B,\ C$ 라 하자. $\displaystyle \overline{AB}:\overline{BC}=1:5$ 일 때, $\displaystyle b^3-a^3=\dfrac{q}{p}$ 이다 (단, $\displaystyle p,\ q$ 는 서로소인 자연수이다).다음에 답하시오. (10점)① 점 $\displaystyle A$ 의 좌표 = __________ (답만 쓰시오. 2.5점).② $\displaystyle p+q$ 를 구하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오. 7.5점).

교재와 닮은 점 · 수능특강 23번은 2<a<b, a:b=3:4 에서 직선 y=2와 세 로그곡선의 교점 A,B,C에 대해 AB:BC=2:3 일 때 a²+b²=q/p 의 p+q를 묻는다. 논술은 비를 2:3, 직선을 y=3, 길이비를 1:5 로 바꾼 같은 문항이다.

다른 점 · 구하는 대상이 a²+b² 대신 b³-a³ 이고 점 A의 좌표를 따로 묻는 정도.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 1027번

두 상수 $\displaystyle{a}$ ( $\displaystyle{a >0, ~a \ne 1}$ ), $\displaystyle{b}$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle{y=\log_a(x+b)}$ 와 직선 $\displaystyle{y=x}$ 가 서로 다른 두 점 $\displaystyle{A}$ , $\displaystyle{B}$ 에서 만나고, $\displaystyle{\overline{OA}=\overline{OB}=\sqrt{2}}$ 일 때, $\displaystyle{a b=p+q\sqrt{2}}$ 이다. $\displaystyle{p+q}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{O}$ 는 원점이고 $\displaystyle{p}$ , $\displaystyle{q}$ 는 유리수이다.)

2026학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 21번

$\displaystyle{2}$ 이상의 자연수 $\displaystyle{a}$ 에 대하여 두 함수 $\displaystyle{y=\log _{2}(x+a), y=\log _{2}(-x+a)}$ 의 그래프의 교점을 $\displaystyle{A}$ 라 하고, 삼각형 $\displaystyle{ABC}$ 가 정삼각형이 되도록 하는 $\displaystyle{x}$ 축 위의 서로 다른 두 점을 $\displaystyle{\mathrm{B}, \mathrm{C}}$ 라 하자. $\displaystyle{1<\overline{\mathrm{BC}}<\frac{8 \sqrt{3}}{3}}$ 을 만족시키는 $\displaystyle{a}$ 의 개수를 구하시오.

2027학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 1027번

두 상수 $\displaystyle a~(a>0, a \ne 1)$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=\log_a(x+b)$ 와 직선 $\displaystyle y=\frac{3}{2}x$ 가 서로 다른 두 점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에서 만나고, $\displaystyle \overline{OA}=\overline{OB}=\sqrt{13}$ 일 때, $\displaystyle a^3b=p+q\sqrt{5}$ 이다. $\displaystyle p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle O$ 는 원점이고 $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 는 유리수이다.)

2026학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 23번

$\displaystyle{{}2<a<b}$ 이고 $\displaystyle{a: b=3: 4}$ 인 두 실수 $\displaystyle{a, b}$ 에 대하여 직선 $\displaystyle{y=2}$ 와 세 곡선 $\displaystyle{y=\log _{2} x, y=\log _{a} x, y=\log _{b} x}$ 가 만나는 점을 각각 $\displaystyle{\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}}$ 라 하자. $\displaystyle{\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{BC}}=2: 3}$ 일 때, $\displaystyle{a^{2}+b^{2}=\frac{q}{p}}$ 이다. $\displaystyle{p+q}$ 의 값을 구하시오. $\displaystyle{\\}$ (단, $\displaystyle{p}$ 와 $\displaystyle{q}$ 는 서로소인 자연수이다.)

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