D155두 물체의 위치와 움직인 거리

시각 $\displaystyle{t=0}$일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle{{{P}}}$의 시각 $\displaystyle{t~ \left ( t \ge 0 \right ) }$에서의 속도 $\displaystyle{v \left ( t \right ) }$가

$\displaystyle{v \left ( t \right ) =t^{{4}} -50t+a}$

이다. 시각 $\displaystyle{t=5}$에서 점 $\displaystyle{{{P}}}$의 위치가 $\displaystyle{15}$일 때, 상수 $\displaystyle{a }$의 값을 구하시오.

자연수 $\displaystyle k$에 대하여 두 점 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$는 시각 $\displaystyle t=0$일 때 각각 점 $\displaystyle A \left ( k \right )$와 점 $\displaystyle B \left ( 2k \right )$에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 두 점 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$의 시각 $\displaystyle t$ $\displaystyle \left ( t \ge 0 \right )$에서의 속도가 각각

$\displaystyle v_{{1}} \left ( t \right ) =3t^{{2}} -12t+k$, $\displaystyle v_{{2}} \left ( t \right ) =-2t-4$

이다. 두 점 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$가 출발한 후 한 번만 만나도록 하는 $\displaystyle k$의 최솟값을 구하시오.

시각 $\displaystyle{t=0}$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle{{{P}}}$, $\displaystyle{{{Q}}}$의 시각 $\displaystyle{t~ \left ( t \ge 0 \right ) }$에서의 속도가 각각

$\displaystyle{v_{{1}} \left ( t \right ) =t^{{2}} -2t}$, $\displaystyle{v_{{2}} \left ( t \right ) =2t-a~ \left ( a \gt 0 \right ) }$

이다. 두 점 $\displaystyle{{{P}}}$, $\displaystyle{{{Q}}}$는 출발한 후 시각 $\displaystyle{t=k}$일 때만 만난다. $\displaystyle{0 \lt t \lt k}$인 시각 $\displaystyle{t }$에서의 두 점 $\displaystyle{{{P}}}$, $\displaystyle{{{Q}}}$ 사이의 거리의 최댓값은? (단, $\displaystyle{a }$, $\displaystyle{k }$는 상수이다.)

시각 $\displaystyle{t=0}$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle{\mathrm{P}, \mathrm{Q}}$의 시각 $\displaystyle{t(t \geq 0)}$에서의 속도를 각각 $\displaystyle{v_{1}(t), v_{2}(t)}$라 할 때, 정수 $\displaystyle{a}$에 대하여 $\displaystyle{\\ v_{1}(t)=t^{2}+a t-a, v_{2}(t)=2 t+a\\}$이다. 시각 $\displaystyle{t=k(k>0)}$에서 두 점 $\displaystyle{\mathrm{P}, \mathrm{Q}}$의 위치가 서로 같고 두 점 $\displaystyle{\mathrm{P}, \mathrm{Q}}$의 속도도 서로 같을 때, 상수 $\displaystyle{k}$의 값을 구하시오.