D143이차함수와 x축 사이의 넓이

양수 $\displaystyle{a}$에 대하여 함수 $\displaystyle{f(x)}$가 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle{f(x) = \begin{cases} x+8 & (x<0) \\ x^2-ax+8 & (x \ge 0) \end{cases}}$

실수 $\displaystyle{t}$에 대하여 닫힌구간 $\displaystyle{[t, t+2]}$에서 함수 $\displaystyle{f(x)}$의 최댓값을 $\displaystyle{g(t)}$라 하자. $\displaystyle{t \ge 0}$에서 함수 $\displaystyle{g(t)}$의 최솟값이 $\displaystyle{0}$일 때, 함수 $\displaystyle{y=g(t)}$의 그래프와 $\displaystyle{t}$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

삼차함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$에 대하여 함수 $\displaystyle y=f ' \left ( x \right )$의 그래프는 $\displaystyle x$축과 서로 다른 두 점에서 만나고, 함수 $\displaystyle y=f ' \left ( x \right )$의 그래프와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\displaystyle 4$이다. 함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$의 극솟값이 $\displaystyle 2$일 때, 함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$의 극댓값을 구하시오.

자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) = \dfrac {{1}} {{4}} x^{{2}} +n}$이 있다. 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$와 $\displaystyle{x }$축, $\displaystyle{y }$축 및 직선 $\displaystyle{x=n}$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{a_{{n}}}$, 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$와 직선 $\displaystyle{y=f \left ( n \right ) }$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle{b_{{n}}}$이라 하자. $\displaystyle{a_{{n}} \ge b_{{n}}}$을 만족시키는 자연수 $\displaystyle{n }$의 최댓값을 $\displaystyle{m }$이라 할 때, $\displaystyle{\sum \limits _{{k=1}}^{{m}} \left ( a_{{k}} -b_{{k}} \right ) }$의 값은?