D141두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

두 함수

$\displaystyle{f \left ( x \right ) = \dfrac {{1}} {{2}} x^{{4}} -x^{{2}} -1}$, $\displaystyle{g \left ( x \right ) =x^{{2}} +a}$

에 대하여 $\displaystyle{x }$에 대한 방정식 $\displaystyle{f \left ( x \right ) =g \left ( x \right ) }$의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle{3 }$일 때, 두 곡선 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$, $\displaystyle{y=g \left ( x \right ) }$로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, $\displaystyle{a }$는 상수이다.)

최고차항의 계수가 음수인 이차함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$에 대하여 함수

$\displaystyle g \left ( x \right ) = {\begin{cases} ~x&~ \left ( x\lt 1~또는 ~x\gt 3 \right ) \\ ~f \left ( x \right ) &~ \left ( 1 \le x \le 3 \right ) \end{cases}}$

이 실수 전체의 집합에서 연속이고, 함수 $\displaystyle y=g \left ( x \right )$의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 직선 $\displaystyle x=4$로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\displaystyle \dfrac {{34}} {{3}}$이다. 함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$의 최댓값이 $\displaystyle \dfrac {{q}} {{p}}$일 때, $\displaystyle p+q$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$는 서로소인 자연수이다.)

두 곡선 $\displaystyle{y=x^{{3}} +4x^{{2}} -3}$, $\displaystyle{y=x^{{2}} +x}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$가 다음 조건을 만족시킨다.

• 모든 실수 $\displaystyle{x }$에 대하여 $\displaystyle{f \left ( x \right ) \ge 0}$이다.

• $\displaystyle{\displaystyle \int_{{1}}^{{4}} f \left ( x \right ) dx=5}$

두 함수 $\displaystyle{g \left ( x \right ) =f \left ( x \right ) +2}$, $\displaystyle{h \left ( x \right ) = -f \left ( x \right ) }$에 대하여 두 곡선 $\displaystyle{y=g \left ( x \right ) }$, $\displaystyle{y=h \left ( x \right ) }$와 두 직선 $\displaystyle{x=1}$, $\displaystyle{x=4}$로 둘러싸인 부분의 넓이는?