D125구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분의 계산

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) = \begin{cases} x-4 & & \left ( x \lt 2 \right ) \\ 3x^{{2}} +ax & & \left ( x \ge 2 \right ) \end{cases}}$에 대하여 $\displaystyle{\displaystyle \int_{{0}}^{{4}} f \left ( x \right ) dx}$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{a }$는 상수이다.)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-x+1 & (x \leq 1) \\ a x+b & (x>1)\end{array}\right.}$이 $\displaystyle{\int_{0}^{2} f(x) d x>5}$를 만족시키도록 하는 두 정수 $\displaystyle{a, b}$에 대하여 $\displaystyle{|a b|}$의 최솟값을 구하시오.

함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) = \begin{cases} x^{{2}} -3x & & \left ( x \le 0 \right ) \\ x-1 & & \left ( x \gt 0 \right ) \end{cases}}$과 다음 조건을 만족시키는 모든 일차함수 $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$에 대하여 $\displaystyle{\displaystyle \int_{{-2}}^{{3}} f \left ( x \right ) g \left ( x \right ) dx}$의 최댓값은?

• 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) g \left ( x \right ) }$가 실수 전체의 집합에서 연속이다.

• 직선 $\displaystyle{y=g \left ( x \right ) }$가 함수 $\displaystyle{y=f \left ( x \right ) }$의 그래프와 오직 한 점에서만 만난다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle{f(x)}$의 도함수가 $\displaystyle{\\ f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc}a & (x<b) \\ -3 x^{2}+x & (x \geq b)\end{array}\right.\\}$이다. 함수 $\displaystyle{f(x)}$의 역함수가 존재하고 $\displaystyle{f(2)-f(0)=-\frac{15}{2}}$일 때, $\displaystyle{a+b}$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{a, b}$는 상수이다.)