D072평균값의 정리의 활용3년 연속

삼차함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) =x^{{3}} +2x^{{2}} +6x}$와 양의 실수 $\displaystyle{t }$에 대하여 등식

$\displaystyle{f \left ( t \right ) -f \left ( 0 \right ) =tf ' \left ( c \right ) }$

를 만족시키는 실수 $\displaystyle{c }$의 값 중 $\displaystyle{0 \lt c \lt t}$인 것을 $\displaystyle{h \left ( t \right ) }$라 하자. $\displaystyle{\lim \limits _{{t \rightarrow 0+}} \dfrac {{h \left ( t \right ) }} {{t}}}$의 값은?

함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) =x^{{3}} -x$에 대하여 $\displaystyle \dfrac {{f \left ( 1 \right ) -f \left ( -2 \right ) }} {{3}} =f ' \left ( a \right )$를 만족시키고 열린구간 $\displaystyle \left ( -2,~ 1 \right )$에 속하는 상수를 $\displaystyle a$라 할 때, 곡선 $\displaystyle y=f \left ( x \right )$ 위의 점 $\displaystyle \left ( a,~ f \left ( a \right ) \right )$에서의 접선의 $\displaystyle y$절편은?

함수 $\displaystyle{f(x)=x^{3}-4 x^{2}+4 x+1}$에 대하여 닫힌구간 $\displaystyle{[0,3]}$ 에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 $\displaystyle{c}$의 최댓값을 $\displaystyle{M}$, 최솟값을 $\displaystyle{m}$이라 할 때, $\displaystyle{9(M-m)^{2}}$의 값을 구하시오.

삼차함수 $\displaystyle{f(x)=x^3+5x}$와 양의 실수 $\displaystyle{t}$에 대하여 등식 $\displaystyle{f(t)-f(0)=tf}$를 만족시키는 실수 $\displaystyle{c}$의 값 중 $\displaystyle{0<c<t}$인 것을 $\displaystyle{h(t)}$라 하자. $\displaystyle{\lim_{t \to 0 +} \frac{h(t)}{t}}$의 값은?