D057접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정3년 연속

곡선 $\displaystyle y= -2x^{{4}} +3x^{{2}} +a$ 위의 점 $\displaystyle \left ( 1,~a+1 \right )$에서의 접선이 점 $\displaystyle \left ( 0,~-3 \right )$을 지날 때, 상수 $\displaystyle a$의 값은?

함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) =x^{{3}} +ax^{{2}} +b$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f \left ( x \right )$ 위의 점 $\displaystyle \left ( \dfrac {{2}} {{3}} ,~ f \left ( \dfrac {{2}} {{3}} \right ) \right )$에서의 접선과 두 점 $\displaystyle \left ( -1,~ f \left ( -1 \right ) \right )$, $\displaystyle \left ( 2,~ f \left ( 2 \right ) \right )$를 지나는 직선이 서로 평행하다. $\displaystyle f \left ( 1 \right ) =3$일 때, $\displaystyle f \left ( 2 \right )$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$, $\displaystyle b$는 상수이다.)

두 함수 $\displaystyle{f(x)=x^{{3}} -3x^{{2}} +2x+a}$, $\displaystyle{g(x)=x^{{3}} +bx+c}$가 다음 <조건>을 만족시킬 때, $\displaystyle{\left | abc \right | }$의 값은? (단, $\displaystyle{a }$, $\displaystyle{b }$, $\displaystyle{c }$는 상수이다.)

• 두 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$, $\displaystyle{y=g(x)}$가 점 $\displaystyle{{A} (1,~2)}$에서 만난다.

• 곡선 $\displaystyle{y=f(x)}$ 위의 점 $\displaystyle{{A}}$에서의 접선과 곡선 $\displaystyle{y=g(x)}$ 위의 점 $\displaystyle{{A}}$에서의 접선이 서로 수직이다.

다항함수 $\displaystyle f \left ( x \right )$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=ax^{{3}} +2x$ 위의 점 $\displaystyle \left ( 1,~4 \right )$에서의 접선이 곡선 $\displaystyle y= \left ( 2x^{{3}} -x \right ) f \left ( x \right )$와 점 $\displaystyle \left ( 1,~f \left ( 1 \right ) \right )$에서 접할 때, $\displaystyle f ' \left ( 1 \right )$의 값은? (단, $\displaystyle a$는 상수이다.)