D031두 그래프의 교점에서 연속의 활용

함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) =x^{{2}} -2x+a$와 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle x$에 대한 방정식 $\displaystyle \left | f \left ( x \right ) \right | =t$의 서로 다른 실근의 개수를 $\displaystyle g \left ( t \right )$라 하면 함수 $\displaystyle g \left ( t \right )$는 $\displaystyle t= \alpha$, $\displaystyle t= \beta ~ \left ( \alpha \lt \beta \right )$에서만 불연속이고 $\displaystyle \alpha + \beta =4$이다. $\displaystyle f \left ( a \right )$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$는 상수이다.)

실수 $\displaystyle{t}$ 와 함수 $\displaystyle{f(x)=\begin{cases}x-3 & (x<-1) \\ (x+1)(x-3) & (x \geq-1) \end{cases}}$ 에 대하여 $\displaystyle{x}$에 대한 방정식 $\displaystyle{f(x)=t}$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $\displaystyle{n}$이라 할 때, 함수 $\displaystyle{g(t)}$ 를 다음과 같이 정의한다.

• $\displaystyle{\\ n=1}$ 일 때, $\displaystyle{x}$ 에 대한 방정식 $\displaystyle{f(x)=t}$ 의 해가 $\displaystyle{x=\alpha}$ 이면 $\displaystyle{g(t)=\alpha}$ 이다.

• $\displaystyle{\\ n \geq 2}$ 일 때, $\displaystyle{g(t)}$ 는 $\displaystyle{x}$ 에 대한 방정식 $\displaystyle{f(x)=t}$ 의 서로 다른 모든 실근의 합이다. $\displaystyle{\\}$

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

• $\displaystyle{\lim _{t \rightarrow 0-} g(t)=2\\}$

• $\displaystyle{\lim _{t \rightarrow 5} \frac{g(-t)+2}{g(t)-4}=6\\}$

• 함수 $\displaystyle{(|t+2|-2) g(t)}$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다.