C189등비수열의 귀납적 정의

모든 항이 실수인 수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여
$\displaystyle a_{n+1}^{{~~~~2}} =a_{n} a_{n+2}$
를 만족시킨다. $\displaystyle a_{1} =2,$ $\displaystyle a_{4} =-54$일 때, $\displaystyle a_{k} \lt -500$을 만족시키는 자연수 $\displaystyle k$의 최솟값은?

모든 항이 양수인 수열 $\displaystyle{\left\{a_{n}\right\}}$이 모든 자연수 $\displaystyle{n}$에 대하여 $\displaystyle{\\ \left(a_{n+1}\right)^{2}=a_{n} a_{n+2}\\}$를 만족시키고, $\displaystyle{a_{3}=1, a_{5}+a_{7}=20}$이다. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{9} a_{n}=\frac{q}{p}}$일 때, $\displaystyle{p+q}$의 값을 구하시오. $\displaystyle{\\}$ (단, $\displaystyle{p}$와 $\displaystyle{q}$는 서로소인 자연수이다.)

모든 항이 $\displaystyle{0}$이 아닌 수열 $\displaystyle{\left\{a_{n}\right\}}$이 모든 자연수 $\displaystyle{n}$에 대하여 $\displaystyle{\\ \left(a_{n+1}\right)^{2}=a_{n} a_{n+2}\\}$를 만족시킨다. $\displaystyle{a_{7}=3\left(a_{4}\right)^{2}}$일 때, $\displaystyle{a_{1}}$의 값을 구하시오.