C184특정한 값이 반복되는 수열의 합

첫째항이 양수인 수열 $\displaystyle{\{a_n\}}$이 모든 자연수 $\displaystyle{n}$에 대하여 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_n}$을 만족시킨다. $\displaystyle{\sum_{k=1}^{19} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{19}{320}}$일 때, $\displaystyle{a_{12}}$의 값은?

수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여

$\displaystyle a_{n} = \begin{cases} ~1&~ \left ( n이~3의~배수가~아 닌~경우 \right ) \\ -1&~ \left ( n이~3의~배수인~경 우 \right ) \end{cases}$

이다. 수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$의 첫째항부터 제$\displaystyle n$항까지의 합을 $\displaystyle S_{n}$이라 할 때, $\displaystyle S_{m} =3$을 만족시키는 모든 자연수 $\displaystyle m$의 값의 합은?

첫째항이 양수인 수열 $\displaystyle {a_n}$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_{k+1}-a_k)=a_n$을 만족시킨다. $\displaystyle \sum_{k=1}^{19} \frac{1}{a_k a_{k+1}}=\frac{19}{500}$일 때, $\displaystyle a_{10}$의 값은?

$\displaystyle{a_{1}=1}$인 수열 $\displaystyle{\left\{a_{n}\right\}}$이 모든 자연수 $\displaystyle{n}$에 대하여

$\displaystyle{\\ a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}a_{n}-2 & \left(a_{n} \geq 1\right) \\ -a_{n}+3 & \left(a_{n}<1\right)\end{array}\right.\\}$을 만족시킬 때,

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{40} a_{n}}$의 값을 구하시오.