C110삼각함수를 포함한 방정식과 부등식의 활용

$\displaystyle 0\le \theta \lt 2\pi$일 때, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식
$\displaystyle x^{2} -(2 \cos \theta )x-3 \sin ^{2} \theta -5 \cos \theta \ge 0$
이 항상 성립하도록 하는 모든 $\displaystyle \theta$의 값의 범위는 $\displaystyle \alpha \le \theta \le \beta$이다. $\displaystyle \tan (\beta -\alpha )$의 값은?

$\displaystyle x$에 대한 이차함수

$\displaystyle y$$\displaystyle =x^{{2}} -4x \sin \dfrac {{n \pi }} {{6}} +3-2 \cos ^{2} \dfrac {{n \pi }} {{6}}$

의 그래프의 꼭짓점과 직선 $\displaystyle y$$\displaystyle = \dfrac {{1}} {{2}} x+ \dfrac {3} {2}$사이의 거리가 $\displaystyle \dfrac {{3 \sqrt {5}}} {{5}}$보다 작도록 하는 $\displaystyle 12$이하의 자연수 $\displaystyle n$의 개수는?

$\displaystyle{0\le t \le 2}$인 실수 $\displaystyle{t }$에 대하여 $\displaystyle{x }$에 대한 이차방정식

$\displaystyle{(x- \sin \pi t )(x+ \cos \pi t)}$$\displaystyle{=0}$

의 두 실근 중에서 작지 않은 것을 $\displaystyle{\alpha (t)}$, 크지 않은 것을 $\displaystyle{\beta (t)}$라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

• $\displaystyle{\alpha \left ( \dfrac {{1}} {{2}} \right ) \gt \dfrac {{1}} {{2}}}$

• $\displaystyle{\alpha (t)}$$\displaystyle{=\beta (t)}$인 서로 다른 실수 $\displaystyle{t }$의 개수는 $\displaystyle{2 }$이다.

• $\displaystyle{\alpha (s)}$$\displaystyle{=\beta \left ( s+ \dfrac {{1}} {{2}} \right ) }$을 만족시키는

  실수 $\displaystyle{s }$$\displaystyle{\left ( 0 \le s \le \dfrac {{3}} {{2}} \right ) }$의 최댓값은 $\displaystyle{\dfrac {{5}} {{4}}}$이다.

$\displaystyle{x}$ 에 대한 이차방정식 $\displaystyle{\\ x^{2}+2 x \tan \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)+\tan (\pi+\theta)=0\\}$ 의 두 근을 $\displaystyle{\alpha, \beta}$ 라 하자. $\displaystyle{(4 \alpha-1)(4 \beta-1)=1}$ 일 때, $\displaystyle{\tan ^{2} \theta}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{\theta}$ 는 상수이다.)