C040지수함수의 최대최소3년 연속

교재 8문항 · 논술 기출 1문항

핵심

지수함수는 단조롭다. 밑이 $1$ 보다 크면 증가, 작으면 감소 — 폐구간의 최대·최소는 양 끝에서 나온다. 지수에 이차식이 들어가면 그 이차식의 최대·최소로 넘어간다.

해법

1밑을 보고 증가·감소를 판정한다.
2지수 자리가 식이면 그 식의 범위를 먼저 구한다.
3밑이 $1$ 보다 크면 지수가 최대일 때 함수도 최대, 작으면 뒤집힌다.
4끝점 값을 계산해 비교한다.

공략

· $y=2^{x^2-4x}$ 는 지수의 최솟값이 $-4$ 이므로 최솟값이 $2^{-4}$ 다. 지수의 최대·최소와 함수의 최대·최소가 뒤집히는지만 확인하면 된다.
· $t=2^x$ 로 치환하면 $t>0$ 이고 정의역이 폐구간이면 $t$ 도 폐구간이다. 치환 후 $t$ 의 범위를 다시 적는 줄이 필수다.
· $2^x+2^{-x}$ 꼴은 산술·기하평균으로 최솟값 $2$ 다. 등호는 $x=0$ 에서 성립한다는 조건까지 써야 완결된 답이다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	5	2	1
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	5%/99문항	3%/58문항	3%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 한국기술교육대 1번4점변형2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 4번

정의역이 $\displaystyle \{x \mid 0 \le x \le 2\}$ 인 함수 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $\displaystyle M$ , $\displaystyle m$ 이라 하자. 정의역이 $\displaystyle \{x \mid 0 \le x \le 1\}$ 인 함수 $\displaystyle g(x)=-a^{x}+b$ 의 최댓값과 최솟값이 각각 $\displaystyle -m$ , $\displaystyle -M$ 일 때, $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오.(단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이고, $\displaystyle a>1$ ) (4점)

교재와 닮은 점 · 두 지수함수의 폐구간 최대·최소를 이용해 a+b를 구하는 틀이 같다. 교재는 f=2^x+a, g=3^{-x}+b의 최댓값의 합이 10, 논술은 f=(1/2)^x+1의 M,m을 g=-a^x+b의 -m,-M에 연결한다.

다른 점 · 교재는 최댓값만 쓰지만 논술은 최댓값·최솟값을 교차로 대응시켜 연립식을 세우게 한다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 1033번

$\displaystyle a>1$ 일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle f(x)=|a^{2x}-10a^x+16|$ 이라 하자. $\displaystyle 1 \le x \le 2$ 일 때 $\displaystyle f(x) \ge 8$ 이 성립하도록 하는 자연수 $\displaystyle a$ 를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열하면 $\displaystyle a_1, a_2, a_3, \dots$ 이다. $\displaystyle a_1+a_3+a_5$ 의 값은?

2026학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 4번

정의역이 $\displaystyle{\{x \mid-1 \leq x \leq 2\}}$ 인 두 함수 $\displaystyle{f(x)=2^{x}+a, g(x)=3^{-x}+b}$ 의 최댓값의 합이 10일 때, $\displaystyle{a+b}$ 의 값은? (단, $\displaystyle{a, b}$ 는 실수이다. ) $\displaystyle{\\}$

2025학년도 완성수학Ⅰ 01. 지수함수와 로그함수 26번

닫힌구간 $\displaystyle{\left [ 1,~3 \right ] }$ 에서 정의된 두 함수

$\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ $\displaystyle{= \left ( \dfrac {{a}} {{10}} + \dfrac {{3}} {{20}} \right ) ^{{x}}}$ , $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$ $\displaystyle{= \left ( \dfrac {{2a+4}} {{9}} \right ) ^{{x}}}$

에 대하여 두 함수 $\displaystyle{f \left ( x \right ) }$ , $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$ 의 최솟값이 각각 $\displaystyle{f \left ( 3 \right ) }$ , $\displaystyle{g \left ( 1 \right ) }$ 이 되도록 하는 모든 자연수 $\displaystyle{a }$ 의 개수를 구하시오.

2026학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 12번

$\displaystyle{-1 \leq x \leq 2}$ 에서 함수 $\displaystyle{y=2^{-x+2}-1}$ 의 최댓값과 최솟값의 합은? $\displaystyle{\\}$

같은 단원의 다른 개념

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