C036지수함수의 그래프의 성질

교재 4문항 · 논술 기출 1문항

핵심

$y=a^x$ 은 언제나 점 $(0,1)$ 을 지나고, 점근선은 $x$ 축이며, 치역은 양의 실수 전체다. 밑이 $1$ 보다 크면 증가, $0$ 과 $1$ 사이면 감소 — 이 네 가지가 성질 문제의 전부다.

해법

1밑을 확인해 증가·감소를 정한다.
2지나는 점과 점근선을 표시한다.
3이동이 있으면 점근선과 지나는 점을 함께 옮긴다.
4대소 비교는 밑을 통일하거나 지수를 통일해 판정한다.

공략

· 밑이 다른 수의 대소는 지수를 맞춰 비교한다. $2^{30}$ 과 $3^{20}$ 은 $(2^3)^{10}$ 과 $(3^2)^{10}$ 으로 고치면 바로 보인다.
· $y=a^x$ 과 $y=\left(\dfrac1a\right)^x$ 은 $y$ 축에 대칭이다. 밑이 역수 관계인 두 함수가 함께 나오면 이 대칭을 먼저 쓴다.
· 점근선은 이동해도 여전히 수평선이다. $y=a^{x-m}+n$ 의 점근선은 $y=n$ — 그래프가 점근선을 넘지 않는다는 성질이 부등식 문제로 이어진다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	3	—	1
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	3%/99문항	0%/58문항	3%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2025 한국기술교육대 1번4점동일유형2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수

함수 $\displaystyle y=3^{x-2}+3$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle (a,\ b)$ 와 함수 $\displaystyle y=3^{x-2}+3$ 의 그래프의 점근선 사이의 거리가 3일 때, $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이다.) (4점)

교재와 닮은 점 · 교재는 y=2^{x-1}+2 위의 점 (a,b)와 점근선 사이 거리가 1일 때 a+b, 논술은 y=3^{x-2}+3 위의 점과 점근선 사이 거리가 3일 때 a+b다. 점근선 y=k를 읽고 b를 정한 뒤 그래프에 대입하는 절차가 똑같다.

다른 점 · 밑과 평행이동량, 거리 값만 바뀌었다.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 4개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2027학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 1003번

세 지수함수 $\displaystyle{y=\left(\frac{7-a}{2}\right)^x}$ , $\displaystyle{y=(10a)^x}$ , $\displaystyle{y=(a^2+24)^x}$ 의 그래프의 개형이 그림과 같도록 하는 실수 $\displaystyle{a}$ 의 값의 범위는?

2025학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 0번

직선 $\displaystyle{y=m x+k(k>1)}$ 이 두 함수 $\displaystyle{y=2^{x}, y=3^{x}}$ 의 그래프와 제 $\displaystyle{1}$ 사분면에서 만나는 점의 $\displaystyle{x}$ 좌표를 각각 $\displaystyle{a, b}$ 라 하면 $\displaystyle{\{a, b\}=\{1,2\}}$ 이다. 두 상수 $\displaystyle{m, k}$ 에 대하여 $\displaystyle{m k}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{m \neq 0}$ )

2025학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 0번

함수 $\displaystyle{y=2^{x-1}+2}$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle{(a, b)}$ 와 함수 $\displaystyle{y=2^{x-1}+2}$ 의 그래프의 점근선 사이의 거리가 $\displaystyle{1}$ 일 때, $\displaystyle{a+b}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{a, b}$ 는 상수이다.)

2025학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 0번

함수 $\displaystyle{y=2^{x}+1}$ 의 그래프의 점근선과 함수 $\displaystyle{y=-\left(\frac{1}{3}\right)^{x}+a}$ 의 그래프의 점근선 사이의 거리가 3 이고, 두 함수 $\displaystyle{y=2^{x}+1, y=-\left(\frac{1}{3}\right)^{x}+a}$ 의 그래프가 만날 때, 상수 $\displaystyle{a}$ 의 값을 구하시오.

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