C025y=x 에 대칭을 이용한 넓이

교재 1문항 · 논술 기출 1문항

핵심

$y=a^x$ 과 $y=\log_ax$ 는 $y=x$ 에 대칭이다. 두 곡선과 직선이 만드는 넓이는 대칭을 이용해 한쪽만 계산하고 두 배 하거나, 서로 상쇄시켜 직사각형으로 바꾼다.

해법

1두 곡선이 $y=x$ 에 대칭임을 확인한다.
2 $y=x$ 를 기준으로 도형을 반으로 나눈다.
3한쪽 넓이를 구하고 대칭성으로 두 배 한다.
4겹치는 부분이 있으면 직사각형에서 빼는 방식으로 정리한다.

공략

· 대칭인 두 조각은 넓이가 같다. 「대칭이므로 같다」는 문장을 쓰고 한쪽만 계산하면 절반의 노동으로 끝난다.
· 지수함수의 적분은 교과 범위 밖이다. 반드시 대칭이나 직사각형 분할로 우회하도록 설계된 문제라는 뜻이다.
· 교점이 $y=x$ 위에 있는지 확인한다. 밑이 $1$ 보다 크면 그렇지만, 작으면 $y=x$ 밖에서도 만난다.

학년도	2025	2026	2027
교재 문항 수	—	1	—
그해 이 단원에서 차지한 비중(태그된 문항 기준)	0%/99문항	2%/58문항	0%/36문항

이 개념에서 나온 논술 기출 — 1문항

2026 한국외국어대 1번10점동일개념2026학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 6번

함수 $\displaystyle y=\log_2(x+a)+b$ 의 그래프와 그 역함수의 그래프가 두 점에서 만난다. 이 두 점의 $\displaystyle x$ 좌표가 각각 $\displaystyle -1$ , $\displaystyle 1$ 일 때, 함수 $\displaystyle y=\log_2(x+a)+b$ 의 그래프가 직선 $\displaystyle y=3$ 과 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수) (10점)

교재와 닮은 점 · 둘 다 서로 역함수 관계인 두 그래프의 교점이 직선 y=x 위에 있다는 성질을 출발점으로 삼는다. 교재는 log_a x와 a^x의 교점 C로 사각형 넓이를, 논술은 평행이동된 로그함수와 그 역함수의 교점으로 a, b를 정한다.

다른 점 · 교재는 넓이를 묻는 객관식, 논술은 교점의 x좌표 두 개를 대입해 연립하여 상수를 정하는 서술형.

교재는 이렇게 묻는다 — 대표 문항 1개

해마다 한 문항씩 골랐습니다. 같은 개념이라도 해가 바뀌면 묻는 각도가 조금씩 달라집니다.

2026학년도 특강수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 6번

그림과 같이 함수 $\displaystyle{f(x)=\log _{a} x}$ 의 그래프가 $\displaystyle{x}$ 축과 만나는 점을 A, 함수 $\displaystyle{g(x)=a^{x}}$ 의 그래프가 $\displaystyle{y}$ 축과 만나는 점을 B, 두 함수 $\displaystyle{y=f(x), y=g(x)}$ 의 그래프가 만나는 점을 C 라 하자. 사각형 OACB 의 넓이가 $\displaystyle{\frac{2}{3}}$ 일 때, $\displaystyle{f\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}$ 의 값은? (단, O 는 원점이고 $\displaystyle{0<a<1}$ 이다.)

$\displaystyle{\\}$

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