C044지수함수와 로그함수의 위치관계

그림과 같이 직선 $\displaystyle{y=x}$위의 점 $\displaystyle{\mathrm{A}(\alpha, \alpha)}$를 지나고 $\displaystyle{x}$축에 수직인 직선이 곡선 $\displaystyle{y=\log _{4} x}$와 만나는 점을 P 라 하고, 점 A 를 지나고 $\displaystyle{y}$축에 수직인 직선이 곡선 $\displaystyle{y=2^{x}}$과 만나는 점을 Q라 하자. $\displaystyle{|\overline{\mathrm{AQ}}-\overline{\mathrm{AP}}|}$의 값이 자연수가 되도록 하는 최소의 정수 $\displaystyle{\alpha}$에 대하여 삼각형 $AQP$ 의 넓이는? (단, $\displaystyle{\alpha>1}$ )

$\displaystyle{\\}$

그림과 같이 $\displaystyle{k\gt 1}$인 상수 $\displaystyle{k }$에 대하여 두 함수

$\displaystyle{f \left ( x \right ) }$$\displaystyle{= \log _{{4}} x}$, $\displaystyle{g \left ( x \right ) }$$\displaystyle{= \log _{{k}} \left ( -x \right ) }$가 있다.

두 곡선 $\displaystyle{y }$$\displaystyle{=f \left ( x \right ) }$, $\displaystyle{y }$$\displaystyle{=g \left ( x \right ) }$가 $\displaystyle{x }$축과 만나는 점을 각각 $\displaystyle{A,~B}$라 하자. 곡선 $\displaystyle{y }$$\displaystyle{=f \left ( x \right ) }$ 위의 점 $\displaystyle{P }$에 대하여 직선 $\displaystyle{AP}$의 기울기를 $\displaystyle{m_{{1}}}$, 직선 $\displaystyle{BP}$의 기울기를 $\displaystyle{m_{{2}}}$, 직선 $\displaystyle{AP}$가 곡선 $\displaystyle{y }$$\displaystyle{=g \left ( x \right ) }$와 만나는 점을 $\displaystyle{Q \left ( a,~b \right ) }$라 하자.

$\displaystyle{\dfrac {{m_{{2}}}} {{m_{{1}}}}}$$\displaystyle{= \dfrac {{3}} {{5}}}$, $\displaystyle{k^{{b}}}$$\displaystyle{= - \dfrac {{9}} {{7}} b}$일 때, $\displaystyle{a }$의 값은?

(단, 점 $\displaystyle{P }$는 제$\displaystyle{1 }$사분면 위의 점이고, $\displaystyle{a,~b}$는 상수이다.)

직선 $\displaystyle{x=k}$와 함수 $\displaystyle{y=\log _{3}(x+a)+1}$의 그래프가 만나지 않도록 하는 자연수 $\displaystyle{k}$의 개수가 $\displaystyle{5}$일 때, 정수 $\displaystyle{a}$의 값은? $\displaystyle{\\}$

그림과 같이 곡선 $\displaystyle{y=\log x}$와 곡선 $\displaystyle{y=2^{-x}}$이 만나는 점을 $\displaystyle{P}$ 라 하고, 점 $\displaystyle{P}$에서 $\displaystyle{x}$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle{\mathrm{A}(a, 0)}$이라 하자. 직선 $\displaystyle{AP}$ 가 곡선 $\displaystyle{y=-2^{-x}+1}$과 만나는 점을 $\displaystyle{Q }$라 하고, 두 곡선 $\displaystyle{y=-2^{-x}+1, y=\log x}$의 교점을 $\displaystyle{R}$이라 하자. 점 $\displaystyle{R}$에서 $\displaystyle{x}$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle{\mathrm{B}(b, 0)}$이라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

• $\displaystyle{b>10\\}$

• $\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}=(\log a)(1-\log b) \\}$

• $\displaystyle{\frac{b}{a}>\frac{\log b}{1-\log a}}$