C023로그 성질의 활용

그림과 같이 직선 $\displaystyle{y=-2 x+3}$이 $\displaystyle{x}$축과 만나는 점을 $\displaystyle{\mathrm{A}, y}$축과 만나는 점을 $\displaystyle{B}$라 하자. 직선 $\displaystyle{y=a x}$와 직선 $\displaystyle{y=-2 x+3}$이 만나는 점을 $\displaystyle{C}$라 할 때, 두 삼각형 $\displaystyle{{COA},{BOC}}$의 넓이의 비는 $\displaystyle{1: \log _{2} 5}$이다. 삼각형 $\displaystyle{ COA }$의 넓이를 $\displaystyle{S}$라 할 때, $\displaystyle{S+a}$의 값은? (단, $\displaystyle{O}$는 원점이고 $\displaystyle{a>0}$이다.)

자연수 $\displaystyle{n }$에 대하여 집합 $\displaystyle{A_{{n}}}$을

$\displaystyle{A_{{n}}}$$\displaystyle{= \{ \left ( a,~b \right ) | \log _{{2}} a+ \log _{{2}} b }$$\displaystyle{=n,~a,~b}$는 자연수$\displaystyle{\} }$

라 하자. 집합 $\displaystyle{A_{n}}$의 모든 원소 $\displaystyle{\left ( a,~b \right ) }$에 대하여 $\displaystyle{a+b\gt 2 \sqrt {2}^{{n}}}$이 성립하도록 하는 $\displaystyle{10}$ 이하의 모든 자연수 $\displaystyle{n }$의 개수는?

집합 $\displaystyle{X=\{\log 2, \log 4, \log 8, \log 16\}}$에 대하여 일대일대응인 두 함수 $\displaystyle{f: X \rightarrow X, g: X \rightarrow X}$가 다음 조건을 만족시킨다.

• $\displaystyle{f(\log 2)+g^{-1}(\log 4)=7 \log 2\\}$

• $\displaystyle{\left(g^{-1} \circ f\right)(\log 2)+\left(f \circ g^{-1}\right)(\log 4)=\log 64}$

$\displaystyle{\\ f(\log 16)+g(\log 16)}$의 최댓값은?

중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\displaystyle{\log r}$인 원과 직선 $\displaystyle{y=r x+b}$가 만나는 점의 개수를 $\displaystyle{n}$이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\displaystyle{r>1, b>0}$)

• $\displaystyle{n=0}$이면 $\displaystyle{\log r<\frac{b}{\sqrt{1+r^{2}}}}$이다.

• $\displaystyle{n=1}$이고 $\displaystyle{r=10}$이면 $\displaystyle{b>10}$이다.

• 직선 $\displaystyle{y=r x+b}$와 $\displaystyle{x}$축 및 $\displaystyle{y}$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 $\displaystyle{5}$이고, $\displaystyle{n=1}$이 되도록 하는 두 자연수 $\displaystyle{b}$와 $\displaystyle{r}$이 존재한다.