🏫 2026학년도 상명대 자연B 논술 기출

논술 문항

1이 아닌 두 자연수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle a:b=2:1$ 이고, 직선 $\displaystyle y=3$ 과 세 함수 $\displaystyle y=\log_2 x$ , $\displaystyle y=\log_a x$ , $\displaystyle y=\log_b x$ 의 그래프가 만나는 점을 각각 A, B, C라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{BC}}=1:8$ 을 만족시킬 때,(1) $\displaystyle \sqrt{a^3+b^3}$ 의 값을 구하시오.(2) 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 의 길이를 구하시오.(3) 점 C의 좌표를 구하시오.[답란] (1) $\displaystyle \sqrt{a^3+b^3}=$ ______ (5.2점) (2) 길이 $\displaystyle =$ ______ (2.7점) (3) 좌표 $\displaystyle =$ ______ (2.1점) 〔전체 10점〕

정답 · (1) $\displaystyle 24$ (2) $\displaystyle 504$ (3) $\displaystyle (64,\ 3)$

논술 문항

양수 $\displaystyle \alpha$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=5\cos\left(-\frac{x}{\alpha}+\frac{2}{3}\pi\right)$ 의 주기를 $\displaystyle h(\alpha)$ 라 하고, $\displaystyle f(\alpha)=g(h(\alpha))-2\sin\left\{\frac{h(\alpha)}{12}+\frac{17}{6}\pi\right\}$ 라 하자. 함수 $\displaystyle f(\alpha)$ 가 최댓값을 갖도록 하는 $\displaystyle \alpha$ 의 최솟값을 $\displaystyle m$ 이라 하고, 함수 $\displaystyle f(\alpha)$ 가 최솟값을 갖도록 하는 $\displaystyle \alpha$ 의 최솟값을 $\displaystyle n$ 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 은 양수)(1) $\displaystyle m$ 의 값을 구하시오.(2) $\displaystyle n$ 의 값을 구하시오.(3) $\displaystyle |h(m)-h(n)|$ 의 값을 구하시오.[답란] (1) $\displaystyle m=$ ______ (4.1점) (2) $\displaystyle n=$ ______ (3.8점) (3) $\displaystyle |h(m)-h(n)|=$ ______ (2.1점) 〔전체 10점〕

정답 · (1) $\displaystyle m=4$ (2) $\displaystyle n=10$ (3) $\displaystyle |h(m)-h(n)|=12\pi$

논술 문항

함수 $\displaystyle f(x)=\log_a x\ (a>0,\ a\neq 1)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle 1<p<q$ 인 모든 실수 $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 에 대하여 $\displaystyle f(p)(q-1)>f(q)(p-1)$ 이다.(나) $\displaystyle |f(8)|=3$ 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프를 $\displaystyle x$ 축에 대하여 대칭이동한 후, $\displaystyle y$ 축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 $\displaystyle y=g(x)$ 라 하자. 두 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 가 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점을 각각 A와 B라 하고, 두 함수의 교점을 C라 할 때,(1) $\displaystyle f(x)=\log_a x$ 에서 밑 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.(2) 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오.(3) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 역함수의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하고, 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이동한 후, $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle k$ 만큼 평행이동한 그래프가 점 $\displaystyle (-6,\ -1)$ 을 지날 때, 실수 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오.[답란] (1) $\displaystyle a=$ ______ (4.0점) (2) 넓이 $\displaystyle =$ ______ (3.0점) (3) $\displaystyle k=$ ______ (3.0점) 〔전체 10점〕

정답 · (1) $\displaystyle a=2$ (2) $\displaystyle =15$ (3) $\displaystyle k=-4$

논술 문항

모든 항이 자연수인 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 아래의 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle a_{2n-1}=n^3+1$ (나) $\displaystyle a_{2n}-a_{2n-1}=d$ ( $\displaystyle d$ 는 상수)(다) $\displaystyle a_n<a_{n+1}$ 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle \sum_{n=1}^{13}a_n$ 의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하시오.(2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{13}a_n$ 의 값이 최소일 때, $\displaystyle a_{16}$ 의 값을 구하시오.[답란] (1) $\displaystyle \sum_{n=1}^{13}a_n$ 의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하는 과정을 서술하시오. (7.8점) (2) $\displaystyle a_{16}=$ ______ (2.2점) 〔전체 10점〕

정답 · (1) $\displaystyle 30$ (2) $\displaystyle a_{16}=514$

논술 문항

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)=x^2+ax+b$ ( $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수)와 상수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=(x^2-2x+k)f(x)$ 라 할 때, 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle g'(2)\neq 0$ 이고, $\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{g(x)-f(x)}{x-2}=0$ 이다.(나) $\displaystyle f(t)=f'(t)$ 와 $\displaystyle g'(t)=3f'(t)$ 를 동시에 만족시키는 실수 $\displaystyle t$ 가 존재한다.다음 물음에 답하시오.(1) 위의 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 정확히 구하시오.(2) $\displaystyle \frac{b}{a}$ 의 값을 구하시오.(3) (1)을 만족시키는 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle g(t+5)=\frac{m}{n}$ 일 때, $\displaystyle m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 은 서로소인 자연수)[답란] (1) 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (5.4점) (2) $\displaystyle \frac{b}{a}=$ ______ (2.3점) (3) $\displaystyle m+n=$ ______ (2.3점) 〔전체 10점〕

정답 · (1) $\displaystyle t=-2$ (2) $\displaystyle \frac{b}{a}=-7$ (3) $\displaystyle m+n=121$

논술 문항

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}$ 의 값이 존재하고, 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수가 $\displaystyle g'(x)=f(|x+5|)-f(|x|)$ 이다. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ 에서 극솟값을 가질 때,(1) 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 를 구하시오.(2) $\displaystyle x_0\neq\frac{1}{2}$ 이고 $\displaystyle g'(x_0)=0$ 을 만족시키는 두 실수 $\displaystyle x_0=\alpha$ 와 $\displaystyle x_0=\beta$ 를 구하시오. (단, $\displaystyle \alpha<\beta$ )(3) 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 극댓값을 갖도록 하는 $\displaystyle x$ 의 값을 정확히 구하시오.[답란] (1) $\displaystyle f(x)=$ ______ (2.7점) (2) 두 실수 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 구하는 과정을 서술하시오. (5.0점) (3) $\displaystyle x=$ ______ (2.3점) 〔전체 10점〕

정답 · $\displaystyle f(x)=(x-3)^2-4=(x-1)(x-5)$, $\displaystyle \alpha=-\frac{11}{2}$, $\displaystyle \beta=-\frac{5}{2}$, $\displaystyle x=-\frac{5}{2}$