🏫 2025학년도 상명대 자연A 논술 기출

논술 문항

서로 다른 네 수 $\displaystyle -3$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle ab$ 에 대하여 $\displaystyle -3$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 이 순서대로 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열을 이루고, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle ab$ 는 이 순서대로 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열을 이룬다.이때, $\displaystyle d$ , $\displaystyle r$ 그리고 $\displaystyle ab$ 의 값을 구하시오. (10점)① $\displaystyle d=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.2점)② $\displaystyle r=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.2점)③ $\displaystyle ab=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.6점)

정답 · $\displaystyle d=6$, $\displaystyle r=3$, $\displaystyle ab=27$

논술 문항

$\displaystyle y=x^2-2(\log_2 a+1)x+(\log_2 a+7)$ 의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 만나지 않도록 하는 양수 $\displaystyle a$ 의 범위를 $\displaystyle 2^m<a<2^n$ 라 하자.(1) $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 의 값을 구하시오.(2) 위에서 구한 $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle \log_4\left\{x^2+(m-n)x+mn\right\}\le\log_2\sqrt{mn(m-n)}$ 을 만족시키는 모든 정수 $\displaystyle x$ 의 합을 구하시오. (10점)① $\displaystyle m=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.1점)② $\displaystyle n=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.1점)③ 모든 정수 $\displaystyle x$ 의 합: ＿＿＿＿＿＿＿＿ (5.8점)

정답 · $\displaystyle m=-3$, $\displaystyle n=2$, $\displaystyle x$, $\displaystyle =15$

논술 문항

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle -2x^2+2x \le f(x) \le x^2+2x$ 를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.(1) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\{f(x)\}^2}{3x^2+xf(x)}$ 의 값을 구하시오.(2) $\displaystyle \lim\limits_{x\to -2}\dfrac{f(x+2)-ax+b}{x^2-4}=4$ 를 만족시키는 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오. (10점)① $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\{f(x)\}^2}{3x^2+xf(x)}=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (4.8점)② $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (5.2점)

정답 · $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\frac{\{f(x)\}^2}{3x^2+xf(x)}=\frac{4}{5}$, $\displaystyle a=18$, $\displaystyle b=-36$

논술 문항

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에서 $\displaystyle a_{50}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{43}$ 이고, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle 2a_{n+1}+3(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n)=10$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_1$ 그리고 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}a_k$ 의 값을 구하시오. (10점)① $\displaystyle a_2=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (5점)② $\displaystyle a_1=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.2점)③ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}a_k=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿ (2.8점)

정답 · $\displaystyle a_2=32$, $\displaystyle a_1=-18$, $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}a_k=2$

논술 문항

그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=8$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=6$ 인 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 선분 AB, BC, CA를 $\displaystyle 1:m$ 으로 내분하는 점을 각각 P, Q, R이라 하자.삼각형 ABC의 넓이를 $\displaystyle S_1$ , 삼각형 PQR의 넓이를 $\displaystyle S_2$ 라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle m>1$ 이고 $\displaystyle \angle\mathrm{CAB}=\theta$ )(1) 삼각형 PBQ의 넓이를 $\displaystyle m$ 에 관한 식으로 나타내시오.(2) 두 삼각형 QCR과 RAP의 넓이가 같음을 보이시오.(3) $\displaystyle S_2=\dfrac{1}{2}S_1$ 을 만족시키는 $\displaystyle m$ 의 값을 구하시오.

정답 · $\displaystyle =\dfrac{24m}{(m+1)^2}$, $\displaystyle m=2+\sqrt{3}$

논술 문항

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases} -x^2+1 & (0\le x<1) \\[2pt] 3x^2-3 & (1\le x\le 3)\end{cases}$ 라 하자.(1) $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\,dx=\dfrac{14}{3}$ 인 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.(2) $\displaystyle 0<x\le 2$ 에서 $\displaystyle S(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}f(t)\,dt$ 일 때, $\displaystyle S(x)$ 를 구하시오.(3) 함수 $\displaystyle S(x)$ 가 $\displaystyle x=b$ 에서 최소일 때, $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오. (10점)① $\displaystyle a=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (1.7점)② $\displaystyle S(x)=$ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3.6점)③ $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (4.7점)

정답 · $\displaystyle a=2$, \displaystyle S(x)=\dfrac{4}{3}x^3+3x^2-x+\dfrac{2}{3}\ (0&lt;x&lt;1), $\displaystyle S(x)=3x^2+3x-2\ (1\le x\le 2)$, $\displaystyle b=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{4}$