2025학년도 가천대 자연 논술 기출 (3세트)

7번10점변형수학Ⅰ · 수열유사도 0.21

논술 문항

공비 $\displaystyle r$ 가 음수인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. $\displaystyle \frac{S_4-S_1}{S_{10}-S_4}=\frac{64}{9}$ 일 때, $\displaystyle r$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a_1\neq 0$ , $\displaystyle r\neq -1$ ) (10점)

정답 · $\displaystyle r=-\dfrac{\sqrt[3]{9}}{2}$

2025학년도 수능완성 수학Ⅰ 03. 수열 11번

공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열 $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_{n}$ 이라 하자. $\displaystyle \dfrac {{a_{8} - a_{6}}} {{S_{8} - S_{6}}} =4$ 일 때, $\displaystyle r$ 의 값은? (단, $\displaystyle a_{1} \ne 0,$ $\displaystyle r\ne 0,$ $\displaystyle r^{2} \ne 1$ )

닮은 점 · 수능완성 11번은 등비수열에서 (a₈-a₆)/(S₈-S₆)=4 로 공비 r를 구하며 a₁≠0 등 단서까지 붙는다. 논술도 (S₄-S₁)/(S₁₀-S₄)=64/9 로 r를 묻고 a₁≠0, r≠-1 단서가 같은 형식이다.

다른 점 · 논술은 부분합의 차를 r³에 대한 이차방정식으로 정리해야 하고 공비가 음수라는 조건으로 근을 고른다.

채택하지 않은 후보 3개

0.302025학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열
0.262023학년도 수능특강 수학Ⅰ [EBS_수능특강_수학1] 06 수열의 합과 수학적 귀납법.json 분류안됨 32번
0.142025학년도 수능완성 수학Ⅰ 03. 수열 16번

8번10점변형수학Ⅱ · 다항함수의 미분법유사도 0.49

논술 문항

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^4-5}-f(x)}{6x^2+1}=\frac{1}{3}$ 일 때, 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\begin{cases} f(1-x)-f(x) & (x<1)\\ f(x) & (x\geq 1)\end{cases}$ 이라 하자. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle f(3)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · $\displaystyle f(3)=-\dfrac{17}{3}$

2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle \\ g(x)=\left\{\begin{array}{cc}f(x) & (x<1) \\ f(x+1)-f(x) & (x \geq 1)\end{array}\right.\\$ 이라 하자. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle f(2)$ 의 값을 구하시오.

닮은 점 · 수능특강은 이차함수 f에 대해 g(x)=f(x)(x<1), f(x+1)-f(x)(x≥1) 가 x=1에서 미분가능할 때 f(2)를 묻는다. 논술도 g(x)=f(1-x)-f(x)(x<1), f(x)(x≥1) 의 x=1 미분가능 조건을 쓴다.

다른 점 · 논술은 √(x⁴-5) 가 들어간 극한으로 f가 이차함수이고 최고차항이 -1임을 먼저 밝혀야 한다.

채택하지 않은 후보 3개

0.442025학년도 수능특강 수학Ⅱ 2. 함수의 연속
0.412025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수
0.382023학년도 수능특강 수학Ⅱ [EBS_수능특강_수학2] 07 정적분의 활용.json 32번

9번10점무관수학Ⅰ · 지수함수와 로그함수

논술 문항

자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=5^{3x+3}-5^{2x+\log_2 k}$ 의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle a$ 라 하자. $\displaystyle 1\leq a\leq 3$ 을 만족시키는 모든 $\displaystyle k$ 의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · $\displaystyle 1960$

교재에서 대응 문항을 찾지 못했습니다

후보는 지수·로그함수의 최대최소와 무관한 극한·정적분 문항뿐이고, 밑을 같게 해 지수를 비교하는 지수방정식+정수 k의 합 유형이 후보에 없다.

채택하지 않은 후보 3개

0.212025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한
0.192025학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수
0.172025학년도 수능특강 수학Ⅱ 7. 정적분의 활용

10번10점동일개념수학Ⅱ · 함수의 극한과 연속유사도 0.21

논술 문항

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 와 두 실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle a+b+f(3)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)(가) 함수 $\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{f(x^2+9)}$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서만 불연속이다.(나) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{f(x-2)}{f(x^2)}=b$

정답 · $\displaystyle a+b+f(3)=-\dfrac{287}{6}$

2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 <조건>을 만족시킬 때, $\displaystyle f(-3)$ 의 값을 구하시오. $\displaystyle \\$ 집합 $\displaystyle \{-1,1,2\}$ 의 모든 원소 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(x)-2 a}{x-a}$ 의 값이 존재한다. $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-1}{f(x)}=-1$

닮은 점 · 후보 문항은 여러 극한의 존재 조건에서 (분자→0)을 반복 적용해 다항함수를 결정하는 유형이고, 논술의 조건 (나) lim(x→-3)f(x-2)/f(x²)=b 도 같은 정리를 쓴다.

다른 점 · 논술의 핵심은 g(x)=x/f(x²+9)가 단 한 점에서만 불연속일 조건(분모의 중근)이라 구조가 다르다.

채택하지 않은 후보 3개

0.262023학년도 수능특강 수학Ⅱ [EBS_수능특강_수학2] 07 정적분의 활용.json 30번
0.252025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한
0.222025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수

11번10점무관수학Ⅰ · 삼각함수

논술 문항

그림과 같이 중심이 $\displaystyle \mathrm{O}$ 이고 길이가 $\displaystyle 6$ 인 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}}$ 가 되도록 호 $\displaystyle \mathrm{PA}$ 위에 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 를 잡는다. 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 가 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{D}$ 라 하자. 사각형 $\displaystyle \mathrm{ACPD}$ 가 평행사변형일 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}$ 의 길이와 $\displaystyle \sin(\angle \mathrm{PBC})$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정답 · $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=2\sqrt{6}$ , $\displaystyle \sin(\angle \mathrm{PBC})=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

교재에서 대응 문항을 찾지 못했습니다

후보는 부채꼴 넓이·외접원·내분점 등 다른 도형 문항이며, 반원의 지름에 대한 원주각과 평행사변형 조건을 결합한 이 문항에 대응하는 것이 없다.

채택하지 않은 후보 3개

0.882025학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수
0.862025학년도 수능특강 수학Ⅰ 04. 사인법칙과 코사인법칙
0.842025학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수

12번10점변형수학Ⅱ · 다항함수의 적분법유사도 0.26

논술 문항

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2x\int_0^2 f(t)\,dt+\left(\int_0^2 \frac{f(t)}{\sqrt{2}}\,dt\right)^2$ (나) 임의의 두 실수 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2\ (x_1<x_2)$ 에 대하여 $\displaystyle f(x_2)-3x_1^2>f(x_1)-3x_2^2$ 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle 0\leq x<1$ 일 때 $\displaystyle g(x)=f(x)+ax^2$ 이고, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle g(x+1)=g(x)+b$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \displaystyle\int_2^3 g(x)\,dx=\frac{79}{12}$ 일 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수이다.) (10점)

정답 · $\displaystyle a=b=\dfrac{5}{2}$

2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle 0 \leq x<1$ 일 때 $\displaystyle f(x)=a x^{2}-1$ 이고, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \\ f(x+1)=f(x)+b\\$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \int_{2}^{3} f(x) d x=\frac{11}{3}$ 일 때, $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a, b$ 는 상수이다.)

닮은 점 · 수능특강은 0≤x<1에서 이차식, f(x+1)=f(x)+b, ∫₂³f 값으로 a+b를 구한다. 논술 후반부도 g(x)=f(x)+ax², g(x+1)=g(x)+b, ∫₂³g=79/12 로 같은 골격이다.

다른 점 · 논술은 앞에 정적분 상수를 포함한 f의 결정과 증가 조건(나)에 의한 해 선택이 먼저 붙는다.

채택하지 않은 후보 3개

0.312023학년도 수능특강 수학Ⅱ [EBS_수능특강_수학2] 07 정적분의 활용.json 30번
0.252023학년도 수능특강 수학Ⅱ [EBS_수능특강_수학2] 07 정적분의 활용.json 32번
0.232025학년도 수능완성 수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 25번

13번10점무관수학Ⅱ · 다항함수의 미분법

논술 문항

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 도함수가 $\displaystyle f'(x)=\begin{cases}-2 & (x>b)\\ -4x^3-12x^2-9x-2 & (x\leq b)\end{cases}$ 이다. 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle g(x)=|f(x)|$ 이고 세 집합 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ 를 $\displaystyle A=\left\{x\ \middle|\ \lim_{h\to 0-}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\lim_{h\to 0+}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=0\right\},$ $\displaystyle B=\left\{x\ \middle|\ \lim_{h\to 0-}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\to 0+}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=0\right\},$ $\displaystyle C=\{\,g(x)\mid x\in A\,\}$ 라 할 때, $\displaystyle n(A)=3$ , $\displaystyle n(B)=2$ , $\displaystyle n(C)=2$ 이다. 집합 $\displaystyle C$ 의 모든 원소를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · $\displaystyle C=\left\{0,\ \dfrac{27}{16}\right\}$

교재에서 대응 문항을 찾지 못했습니다

후보에 |f(x)|의 좌·우 미분계수(첨점·극점)를 다루는 문항이 없어, 집합 A·B·C의 원소 개수 조건을 쓰는 이 문항과 대응하지 않는다.

채택하지 않은 후보 3개

0.292025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한
0.272025학년도 수능특강 수학Ⅱ 2. 함수의 연속
0.262025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수

14번10점변형수학Ⅱ · 다항함수의 적분법유사도 0.70

논술 문항

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t\ (t\geq 0)$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도 $\displaystyle v_1(t)$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 가속도 $\displaystyle a_2(t)$ 는 $\displaystyle v_1(t)=-\frac{1}{2}t^2+\frac{5}{2}t,\qquad a_2(t)=2t-\frac{1}{2}$ 이다. 시각 $\displaystyle t=k$ 일 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 속도가 같고 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 가속도가 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 가속도의 $\displaystyle 7$ 배이다. $\displaystyle t=0$ 에서 $\displaystyle t=k$ 까지 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 움직인 거리의 차를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle k$ 는 상수이다.) (10점)

정답 · $\displaystyle \dfrac{47}{24}$

2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 7. 정적분의 활용

시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 가 있다. 시각 $\displaystyle t(t \geq 0)$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도 $\displaystyle v_{1}(t)$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 가속도 $\displaystyle a_{2}(t)$ 는 $\displaystyle \\ v_{1}(t)=3 t^{2}+1, a_{2}(t)=1-2 t\\$ 이다. $\displaystyle t \geq 0$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 속도가 $\displaystyle 0$ 이상인 모든 시간 동안 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 움직인 거리가 $\displaystyle 10$ 일 때, 시각 $\displaystyle t=3$ 에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 사이의 거리를 구하시오.

닮은 점 · 수능특강은 '시각 t=0에 동시에 원점을 출발한 두 점 P,Q'에서 P의 속도 v₁(t)와 Q의 가속도 a₂(t)를 주는 완전히 같은 설정이며, 움직인 거리를 정적분으로 구한다. 논술도 v₁, a₂를 주고 |v|의 정적분으로 거리를 구한다.

다른 점 · 논술은 t=k에서 속도가 같고 가속도가 7배라는 조건으로 k와 적분상수를 정한 뒤 두 거리의 차를 묻는다.

채택하지 않은 후보 3개

0.632025학년도 수능특강 수학Ⅰ 04. 사인법칙과 코사인법칙
0.612025학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수
0.612025학년도 수능특강 수학Ⅱ 5. 도함수의 활용(2)

15번10점변형수학Ⅰ · 삼각함수유사도 0.63

논술 문항

상수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ 에 대하여, 이차방정식 $\displaystyle 3x^2-\sqrt{5}\,x+a=0$ 의 해가 $\displaystyle \sin\theta$ , $\displaystyle \cos\theta$ 이다. $\displaystyle \sin\theta-\cos\theta$ 의 값을 $\displaystyle b$ 라 할 때, $\displaystyle ab$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · $\displaystyle ab=-\dfrac{2\sqrt{13}}{9}$

2025학년도 수능완성 수학Ⅰ 02. 삼각함수 4번

이차방정식 $\displaystyle x^{2} -4x-2$ $\displaystyle =0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ $\displaystyle (\alpha \gt \beta )$ 라 할 때, $\displaystyle \sin \theta - \cos \theta$ $\displaystyle = \dfrac {{\alpha - \beta }} {{\alpha +\beta }}$ 를 만족시키는 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 $\displaystyle \sin \theta \cos \theta$ 의 값은?

닮은 점 · 수능완성 4번은 이차방정식의 두 근으로 sinθ-cosθ 값을 만든 뒤 (sinθ-cosθ)²=1-2sinθcosθ 로 sinθcosθ를 구한다. 논술은 이차방정식의 두 근이 sinθ, cosθ 자체여서 근과 계수의 관계로 같은 항등식을 쓴다.

다른 점 · 논술은 θ의 범위로 sinθ-cosθ의 부호까지 정해 a와 b를 모두 구한다.

채택하지 않은 후보 3개

0.802025학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수
0.742023학년도 수능특강 수학Ⅰ [EBS_수능특강_수학1] 03 삼각함수.json 25번
0.732023학년도 수능특강 수학Ⅰ [EBS_수능특강_수학1] 03 삼각함수.json 5번