2025학년도 가천대 자연 논술 기출 (1세트)

7번10점변형수학Ⅰ · 삼각함수유사도 0.71

논술 문항

$\displaystyle 0 \le \theta < 2\pi$ 에 대하여 $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{1}{\sqrt{6}}$ 이고 $\displaystyle \cos\theta<0$ 일 때, $\displaystyle \tan^2(\pi+\theta)+\sqrt{5}\,\tan\theta+3\sin^2\left(\frac{3}{2}\pi+\theta\right)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · $\displaystyle \frac{37}{10}$

2025학년도 수능완성 수학Ⅰ 02. 삼각함수 7번

$\displaystyle \sin \left ( \dfrac {{5}} {{2}} \pi +\theta \right )$ $\displaystyle = \dfrac {{\sqrt {6}}} {{3}}$ 이고 $\displaystyle \sin \theta \lt 0$ 일 때, $\displaystyle \tan \theta$ 의 값은?

닮은 점 · 수능완성 문항은 sin(5π/2+θ)=√6/3 과 sinθ<0 으로 사분면을 정한 뒤 tanθ를 구하는데, 논술도 cos(π/2+θ)=1/√6 을 -sinθ로 고쳐 cosθ<0과 함께 제3사분면을 확정하고 tanθ·cosθ를 구한다. √6이라는 값과 부호조건 구조가 그대로다.

다른 점 · 논술은 답을 tan²+√5tan+3sin² 이라는 복합식 계산으로 한 단계 더 끌고 간다.

채택하지 않은 후보 3개

0.762025학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수
0.722025학년도 수능완성 수학Ⅰ 02. 삼각함수 8번
0.702023학년도 수능특강 수학Ⅰ [EBS_수능특강_수학1] 03 삼각함수.json 25번

8번10점무관수학Ⅰ · 지수함수와 로그함수

논술 문항

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{3}x^{-4} & (0<x\le 2)\\[4pt] \log_3 x & (x>2)\end{cases}$ 에 대하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{3} f\big(f(f(n))\big)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · $\displaystyle 33+16\log_3 2$

교재에서 대응 문항을 찾지 못했습니다

후보 10개가 모두 수학Ⅱ 함수의 연속(구간별 정의 함수의 미정계수) 문항이라, 지수·로그가 섞인 합성 f(f(f(n))) 계산과는 대응하지 않는다.

채택하지 않은 후보 3개

0.242025학년도 수능특강 수학Ⅱ 2. 함수의 연속
0.232025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수
0.222025학년도 수능특강 수학Ⅱ 7. 정적분의 활용

9번10점동일유형수학Ⅱ · 다항함수의 적분법유사도 0.41

논술 문항

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x t\,f(t)\,dt=f(x)+ax^3+x^2+x-2$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle f(a)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.) (10점)

정답 · $\displaystyle \frac{7}{3}$

2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \\ \int_{0}^{x} f(t) d t=f(x)+x^{3}+a x\\$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle f(a)$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.)

닮은 점 · 수능특강은 ∫₀ˣ f(t)dt=f(x)+x³+ax 에서 f(a)를 묻고, 논술은 ∫₀ˣ t f(t)dt=f(x)+ax³+x²+x-2 에서 f(a)를 묻는다. 차수 비교로 f를 일차식으로 잡고 x=0 대입 후 계수비교하는 절차가 동일하다.

다른 점 · 피적분함수가 f(t)에서 t f(t)로 바뀌고 우변 항이 늘어난 정도.

채택하지 않은 후보 2개

0.232025학년도 수능특강 수학Ⅱ 4. 도함수의 활용(1)
0.222025학년도 수능특강 수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분

10번10점변형수학Ⅰ · 지수함수와 로그함수유사도 0.23

논술 문항

자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle \sqrt[n]{(2^k)^7}$ 의 값이 8의 배수가 되도록 하는 2 이상의 자연수 $\displaystyle n$ 의 개수를 $\displaystyle f(k)$ 라 하자. $\displaystyle <$ 보기 $\displaystyle >$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고르는 과정을 서술하시오. (10점)< 보기 >ㄱ. $\displaystyle f(7)=2$ ㄴ. $\displaystyle f(k)=2$ 를 만족시키는 5 이하의 자연수 $\displaystyle k$ 의 개수는 2이다.ㄷ. $\displaystyle f(k)=5$ 를 만족시키는 10 이하의 모든 자연수 $\displaystyle k$ 의 값의 합은 24이다.

정답 · ㄴ, ㄷ

2025학년도 수능완성 수학Ⅰ 01. 지수함수와 로그함수 7번

자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle \sqrt [n] {\left ( 2^{{k}} \right ) ^{{5}}}$ 의 값이 자연수가 되도록 하는 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수의 $\displaystyle n$ 의 개수를 $\displaystyle f \left ( k \right )$ 라 할 때, $\displaystyle f \left ( k \right )$ $\displaystyle =3$ 을 만족시키는 $\displaystyle 25$ 이하의 모든 $\displaystyle k$ 의 값의 합을 구하시오.

닮은 점 · 수능완성은 ⁿ√((2^k)^5)이 자연수가 되는 n(≥2)의 개수를 f(k)라 두고 f(k)=3인 k의 합을 묻는다. 논술은 지수만 7로 바꾸고 같은 f(k) 정의를 쓴다(7k/n이 자연수).

다른 점 · 논술은 '자연수' 대신 '8의 배수'(즉 7k/n≥3) 조건을 얹고 ㄱ·ㄴ·ㄷ 보기 판정형으로 바꿨다.

채택하지 않은 후보 3개

0.222023학년도 수능특강 수학Ⅰ [EBS_수능특강_수학1] 01 지수와 로그.json 29번
0.182025학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그
0.172025학년도 수능특강 수학Ⅱ 5. 도함수의 활용(2)

11번10점변형수학Ⅱ · 함수의 극한과 연속유사도 0.43

논술 문항

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{9x^2-1}=\dfrac{1}{3}$ (나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{1}{3}}\dfrac{9x^2-1}{f(x)}=\dfrac{1}{4}$ $\displaystyle \lim\limits_{x\to\frac{1}{3}}\dfrac{\left|x-\frac{1}{3}\right|(x^2+ax+5)}{f(x)}=b$ 를 만족시키는 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · $\displaystyle a=-\frac{46}{3}$ , $\displaystyle b=0$

2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 <조건>을 만족시킬 때, $\displaystyle f\left(\frac{5}{2}\right)$ 의 값을 구하시오. $\displaystyle \\$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{4 x^{2}-1}=\frac{1}{2}\\$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2}-1}{f(x)}=\frac{1}{3}$

닮은 점 · 수능특강은 lim(x→∞)f(x)/(4x²-1)=1/2, lim(x→1/2)(4x²-1)/f(x)=1/3 으로 f를 결정한다. 논술은 같은 틀을 9x²-1, 1/3, 1/4로 바꿔 f(x)=3(x-1/3)(x+k)를 얻는다.

다른 점 · 논술은 |x-1/3|이 들어간 세 번째 극한의 좌·우극한 비교를 추가로 요구한다.

채택하지 않은 후보 3개

0.452025학년도 수능완성 수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 9번
0.382025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한
0.342025학년도 수능완성 수학Ⅱ 04. 함수의 극한과 연속 3번

12번10점변형수학Ⅱ · 다항함수의 미분법유사도 0.65

논술 문항

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 두 실수 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta\ (\alpha<\beta)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle f'(\alpha)=f'(\beta)=0$ (나) $\displaystyle f(\alpha)f(\beta)<0$ (다) $\displaystyle |f(\beta)|=2|f(\alpha)|$ 집합 $\displaystyle A=\left\{x \mid |f(x)|-|f(t)|=0\right\}$ 의 원소의 개수가 홀수가 되도록 하는 모든 실수 $\displaystyle t$ 의 개수가 $\displaystyle m$ 이고, 이러한 $\displaystyle m$ 개의 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 작은 수부터 차례로 $\displaystyle t_1,\ t_2,\ t_3,\ \cdots,\ t_m$ 이라 하자. $\displaystyle \dfrac{1}{|f(\alpha)|}\sum\limits_{i=1}^{m} f(t_i)$ 의 가능한 모든 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · $\displaystyle \pm 3$

2025학년도 수능완성 수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 27번

최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 두 실수 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ ( $\displaystyle \alpha \lt \beta$ )에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. $\displaystyle f ' ( \alpha )$ $\displaystyle =f ' ( \beta )$ $\displaystyle =0$ $\displaystyle f(\alpha )f(\beta )\lt 0$ , $\displaystyle f(\alpha )+f(\beta ) \gt 0$ 방정식 $\displaystyle \left | f(x) \right | = \left | f(k) \right |$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $\displaystyle 3$ 이 되도록 하는 모든 실수 $\displaystyle k$ 의 개수는 $\displaystyle m$ 이고, 이러한 $\displaystyle m$ 개의 실수 $\displaystyle k$ 의 값을 작은 수부터 차례로 $\displaystyle k_{{1}}$ , $\displaystyle k_{{2}}$ , $\displaystyle k_{{3}}$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle k_{{m}}$ 이라 하자. $\displaystyle \sum \limits _{{i=1}}^{{m}} {f(k_{{i}} )} =nf(\alpha )$ 일 때, $\displaystyle m+n$ 의 값을 구하시오.(단, $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 은 자연수이다.)

닮은 점 · 수능완성 27번은 삼차함수에서 f'(α)=f'(β)=0, f(α)f(β)<0 하에 |f(x)|=|f(k)|의 실근 개수가 3이 되는 k들의 개수 m과 Σf(k_i)를 묻는다. 논술은 같은 설정에서 실근 개수가 홀수인 t들의 Σf(t_i)/|f(α)|를 묻는다.

다른 점 · 부가조건이 f(α)+f(β)>0 대신 |f(β)|=2|f(α)|이고, 개수 조건을 '3'에서 '홀수'로 일반화해 최고차항 부호까지 경우를 나눠야 한다.

채택하지 않은 후보 3개

0.492023학년도 수능특강 수학Ⅱ [EBS_수능특강_수학2] 05 도함수의 활용(2).json 28번
0.412025학년도 수능완성 수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 6번
0.402025학년도 수능특강 수학Ⅱ 5. 도함수의 활용(2)

13번10점변형수학Ⅰ·수학Ⅱ · 수열·다항함수의 적분법유사도 0.32

논술 문항

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle 0\le x<1$ 일 때, $\displaystyle f(x)=a\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}$ 이다.(나) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x+1)=f(x)+1$ 을 만족시킨다.자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle p_n=\int_{n-1}^{n} f(x)\,dx$ 라 할 때, 함수 $\displaystyle g(x)=\sum\limits_{n=1}^{100}(x-p_n)^2$ 은 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 최솟값을 갖는다. $\displaystyle \alpha$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle \alpha$ 는 상수이다.) (10점)

정답 · $\displaystyle \frac{2363}{48}$

2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 6. 부정적분과 정적분

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle 0 \leq x<1$ 일 때 $\displaystyle f(x)=a x^{2}-1$ 이고, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \\ f(x+1)=f(x)+b\\$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \int_{2}^{3} f(x) d x=\frac{11}{3}$ 일 때, $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a, b$ 는 상수이다.)

닮은 점 · 수능특강은 0≤x<1에서 f(x)=ax²-1, f(x+1)=f(x)+b, ∫₂³f=11/3 으로 a,b를 구한다. 논술도 0≤x<1의 이차식과 f(x+1)=f(x)+1, 구간 정적분 p_n을 쓰는 같은 골격이다.

다른 점 · 논술은 연속성으로 a를 먼저 확정한 뒤 g(x)=Σ(x-p_n)²의 최솟값(평균) 문제를 덧붙였다.

채택하지 않은 후보 3개

0.412025학년도 수능특강 수학Ⅱ 4. 도함수의 활용(1)
0.382025학년도 수능완성 수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 6번
0.342023학년도 수능특강 수학Ⅰ [EBS_수능특강_수학1] 01 지수와 로그.json 10번

14번10점동일개념수학Ⅱ · 다항함수의 적분법유사도 0.30

논술 문항

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(-2)}{x-2}=1$ (나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x+2)}{f(x-2)}=3$ ① $\displaystyle f(2)\neq 0$ 일 때, 위 조건을 만족시키는 함수가 존재하는지 서술하시오.② $\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · $\displaystyle f(2)\neq 0$ , $\displaystyle -\frac{1}{16}$

2025학년도 수능특강 수학Ⅱ 1. 함수의 극한

삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 <조건>을 만족시킬 때, $\displaystyle f(2)$ 의 값을 구하시오. $\displaystyle \\$ 모든 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)+f(-x)}{x-a}$ 의 값이 존재한다. $\displaystyle \\$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)+2}{x-1}=4$

닮은 점 · 둘 다 삼차함수를 극한 조건만으로 결정하는 유형으로, (분모→0, 극한 존재 ⇒ 분자→0)을 반복 적용한다. 논술은 이로부터 f(2)=f(-2)를 얻는다.

다른 점 · 논술은 f(x+2)/f(x-2)→3 이라는 비(比) 극한으로 f(2)≠0의 존재 가능성을 논증하고 정적분까지 계산한다.

채택하지 않은 후보 3개

0.412025학년도 수능완성 수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 2번
0.372025학년도 수능완성 수학Ⅱ 05. 다항함수의 미분법 9번
0.352025학년도 수능특강 수학Ⅱ 3. 미분계수와 도함수

15번10점변형수학Ⅰ · 삼각함수유사도 0.90

논술 문항

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $\displaystyle n$ 의 값의 합을 $\displaystyle m$ 이라 하자.함수 $\displaystyle f(x)=\sin\frac{\pi}{n}x$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x+30)=f(x)$ 를 만족시킨다.그림과 같이 중심이 $\displaystyle \mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 4인 원에 내접하는 예각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 에서 세 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ , $\displaystyle \mathrm{BC}$ , $\displaystyle \mathrm{CA}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{D}$ , $\displaystyle \mathrm{E}$ , $\displaystyle \mathrm{F}$ 라 하자. $\displaystyle 5\sin^2 A=4\sin^2 C$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}:\overline{\mathrm{OE}}:\overline{\mathrm{OF}}=12:m:6(3\sqrt{5}-1)$ 일 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{OE}$ 의 길이와 $\displaystyle \sin^2 B$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정답 · $\displaystyle \overline{\mathrm{OE}}=2$ , $\displaystyle \sin^2 B=\frac{9+3\sqrt{5}}{32}$

2025학년도 수능특강 수학Ⅰ 04. 사인법칙과 코사인법칙

그림과 같이 중심이 $\displaystyle \mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 3$ 인 원에 내접하는 예각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 에서 세 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}: \overline{\mathrm{OE}}: \overline{\mathrm{OF}}=1: 2: 1$ 일 때, $\displaystyle \sin ^{2} A$ 의 값을 구하시오.교재에 그림이 함께 실려 있다

닮은 점 · 수능특강 문항은 반지름 3인 원에 내접하는 예각삼각형에서 O로부터 세 변에 내린 수선의 발 D,E,F에 대해 OD:OE:OF=1:2:1 일 때 sin²A를 구한다. 논술은 반지름 4, 비 12:m:6(3√5-1)로 바꾼 동일 도형이다.

다른 점 · 논술은 f(x)=sin(π/n)x의 주기 조건으로 m=24를 먼저 구하게 하고 5sin²A=4sin²C 조건을 추가했다.

채택하지 않은 후보 3개

0.842025학년도 수능특강 수학Ⅰ 04. 사인법칙과 코사인법칙
0.832025학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수
0.802025학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수