서경대 예상 논술 3회 · 태랑이 대학가기

1번10점수학Ⅰ · 등차수열, 수열의 합, 부등식

등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle a_3=7$ , $\displaystyle a_7=19$

다음 물음에 답하시오. (10점)

① 첫째항 $\displaystyle a_1$ 과 공차 $\displaystyle d$ 를 구하는 과정을 서술하시오.

② 일반항 $\displaystyle a_n$ 을 구하시오.

③ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k$ 의 값을 구하시오.

④ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_k>500$ 을 만족시키는 최소의 자연수 $\displaystyle n$ 을 구하는 과정을 서술하시오.

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · ① $\displaystyle a_1=1$ , $\displaystyle d=3$ ② $\displaystyle a_n=3n-2$ ③ $\displaystyle 145$ ④ $\displaystyle 19$

해설

1.① $\displaystyle a_3=a_1+2d=7$ , $\displaystyle a_7=a_1+6d=19$ 이다.
2.① 두 식을 빼면 $\displaystyle 4d=12$ 이므로 $\displaystyle d=3$ 이고, $\displaystyle a_1=7-2\times 3=1$ 이다.
3.② $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2$
4.③ $\displaystyle a_{10}=3\times 10-2=28$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k=\dfrac{10\times(1+28)}{2}=145$
5.④ $\displaystyle S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\dfrac{n\{2\times 1+(n-1)\times 3\}}{2}=\dfrac{n(3n-1)}{2}$
6.④ $\displaystyle \dfrac{n(3n-1)}{2}>500$ 에서 $\displaystyle 3n^{2}-n>1000$ 이다.
7.④ $\displaystyle n=18$ 이면 $\displaystyle 3\times 324-18=954<1000$ 이고, $\displaystyle n=19$ 이면 $\displaystyle 3\times 361-19=1064>1000$ 이다. 따라서 최소의 자연수는 $\displaystyle n=19$ 이다.

채점 포인트

1	① 두 식을 연립해 $\displaystyle d=3$ , $\displaystyle a_1=1$ 을 구한 경우	3
2	② $\displaystyle a_n=3n-2$	2
3	③ $\displaystyle 145$	2
4	④ $\displaystyle S_n=\dfrac{n(3n-1)}{2}$ 을 세우고 양쪽에서 확인해 $\displaystyle n=19$ 를 구한 경우	3
계		10

실전 조언 · ④는 이차부등식을 근의 공식으로 풀 수도 있지만, $\displaystyle n=18$ 과 $\displaystyle n=19$ 를 직접 대입해 양쪽에서 확인하는 것이 빠르고 감점도 없다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 12번

2번10점수학Ⅰ · 삼각함수의 그래프, 주기와 최대·최소, 삼각방정식

함수 $\displaystyle f(x)=2\sin 2x+1$ 이 다음 구간에서 정의되어 있다.

(가) $\displaystyle 0\le x<2\pi$

다음 물음에 답하시오. (10점)

① $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

② $\displaystyle f(x)$ 의 주기를 구하시오.

③ 방정식 $\displaystyle f(x)=2$ 의 서로 다른 실근의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

④ 방정식 $\displaystyle f(x)=3$ 을 만족시키는 $\displaystyle x$ 의 값을 모두 구하시오.

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · ① 최댓값 $\displaystyle 3$ , 최솟값 $\displaystyle -1$ ② $\displaystyle \pi$ ③ $\displaystyle 4$ ④ $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{5\pi}{4}$

해설

1.① $\displaystyle -1\le\sin 2x\le 1$ 이므로 $\displaystyle -2\le 2\sin 2x\le 2$ , 즉 $\displaystyle -1\le f(x)\le 3$ 이다. 최댓값은 $\displaystyle 3$ , 최솟값은 $\displaystyle -1$ 이다.
2.② $\displaystyle \sin 2x$ 의 주기는 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{2}=\pi$ 이므로 $\displaystyle f(x)$ 의 주기도 $\displaystyle \pi$ 이다.
3.③ $\displaystyle 2\sin 2x+1=2$ 에서 $\displaystyle \sin 2x=\dfrac{1}{2}$ 이다.
4.③ $\displaystyle 0\le x<2\pi$ 이므로 $\displaystyle 2x$ 의 범위는 $\displaystyle 0\le 2x<4\pi$ 이다.
5.③ $\displaystyle \sin\theta=\dfrac{1}{2}$ 인 $\displaystyle \theta$ 는 한 주기 $\displaystyle [0,\,2\pi)$ 에서 $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \dfrac{5\pi}{6}$ 의 두 개이고, 범위가 두 주기이므로 모두 $\displaystyle 4$ 개이다.
6.④ $\displaystyle 2\sin 2x+1=3$ 에서 $\displaystyle \sin 2x=1$ 이므로 $\displaystyle 2x=\dfrac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle 2x=\dfrac{5\pi}{2}$ 이다.
7.④ 따라서 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}$ 또는 $\displaystyle x=\dfrac{5\pi}{4}$ 이다.

채점 포인트

1	① 최댓값 $\displaystyle 3$ , 최솟값 $\displaystyle -1$	2
2	② 주기 $\displaystyle \pi$	2
3	③ $\displaystyle 2x$ 의 범위를 $\displaystyle 0\le 2x<4\pi$ 로 바꾸어 개수 $\displaystyle 4$ 를 구한 경우	3
4	④ $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{5\pi}{4}$ 를 모두 구한 경우	3
계		10

실전 조언 · $\displaystyle 2x$ 로 치환하면 범위도 두 배가 된다. 이 한 줄을 빼먹으면 개수가 절반이 된다 — 가장 흔한 감점이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수 18번

3번10점수학Ⅱ · 속도와 위치, 정적분, 움직인 거리

수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 시각 $\displaystyle t$ 에서의 속도는 $\displaystyle v(t)=3t^{2}-12t+9$ 이다.

(나) 시각 $\displaystyle t=0$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치는 원점이다.

다음 물음에 답하시오. (10점)

① 시각 $\displaystyle t=0$ 에서 $\displaystyle t=2$ 까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치의 변화량을 구하시오.

② 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 운동 방향이 바뀌는 시각을 모두 구하시오.

③ 시각 $\displaystyle t=0$ 에서 $\displaystyle t=4$ 까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하는 과정을 서술하시오.

④ $\displaystyle 0\le t\le 4$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치가 최대가 되는 시각과 그때의 위치를 구하시오.

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · ① $\displaystyle 2$ ② $\displaystyle t=1,\,3$ ③ $\displaystyle 12$ ④ $\displaystyle t=1$ , 위치 $\displaystyle 4$

해설

1.① 위치의 변화량은 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 \left(3t^{2}-12t+9\right)dt=\left[t^{3}-6t^{2}+9t\right]_0^2=8-24+18=2$
2.② $\displaystyle v(t)=3\left(t^{2}-4t+3\right)=3(t-1)(t-3)=0$ 에서 $\displaystyle t=1$ 또는 $\displaystyle t=3$ 이다.
3.② 이 두 시각의 좌우에서 $\displaystyle v(t)$ 의 부호가 바뀌므로 운동 방향이 바뀌는 시각은 $\displaystyle t=1$ , $\displaystyle t=3$ 이다.
4.③ 위치를 $\displaystyle x(t)=t^{3}-6t^{2}+9t$ 라 하면 $\displaystyle x(0)=0$ , $\displaystyle x(1)=4$ , $\displaystyle x(3)=0$ , $\displaystyle x(4)=4$ 이다.
5.③ 움직인 거리는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4 |v(t)|dt$ 이고, 방향이 바뀌는 $\displaystyle t=1,\,3$ 에서 구간을 끊어 각 구간의 변화량의 절댓값을 더한다.
6.③ $\displaystyle |4-0|+|0-4|+|4-0|=4+4+4=12$
7.④ $\displaystyle v(t)>0$ 인 구간은 $\displaystyle 0<t<1$ 과 $\displaystyle 3<t<4$ , $\displaystyle v(t)<0$ 인 구간은 $\displaystyle 1<t<3$ 이므로 $\displaystyle x(t)$ 는 $\displaystyle t=1$ 에서 극대이다.
8.④ 후보는 $\displaystyle x(1)=4$ 와 $\displaystyle x(4)=4$ 로 같으므로 위치의 최댓값은 $\displaystyle 4$ 이고, 이를 처음 갖는 시각은 $\displaystyle t=1$ 이다.

채점 포인트

1	① 위치의 변화량 $\displaystyle 2$ 를 구한 경우	2
2	② $\displaystyle t=1,\,3$ 을 구한 경우	2
3	③ 방향이 바뀌는 시각에서 구간을 끊어 $\displaystyle 12$ 를 구한 경우	3
4	④ 극대와 끝점을 모두 비교해 위치 $\displaystyle 4$ 를 구한 경우	3
계		10

실전 조언 · ③에서 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4 v(t)dt$ 를 그대로 쓰면 $\displaystyle 4$ 가 나온다. 이것은 "위치의 변화량"이고 "움직인 거리"가 아니다. 구간을 끊는 것이 채점 항목이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 08. 속도와 거리 15번

4번10점수학Ⅱ · 함수의 극한, 함수의 연속, 다항함수의 미분법

두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 다음이 성립한다.

(가) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^{2}+ax+b}{x-2}=5$

다음 물음에 답하시오. (10점)

① $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

② $\displaystyle x\ne 2$ 일 때 $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+ax+b}{x-2}$ 를 간단히 나타내시오.

③ 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=2$ 에서 연속이 되도록 $\displaystyle f(2)$ 를 정하시오.

④ $\displaystyle g(x)=x^{2}+ax+b$ 일 때 $\displaystyle g'(2)$ 의 값을 구하시오.

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · ① $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-6$ ② $\displaystyle f(x)=x+3$ ③ $\displaystyle f(2)=5$ ④ $\displaystyle 5$

해설

1.① $\displaystyle x\to 2$ 일 때 분모 $\displaystyle x-2\to 0$ 이고 극한값이 $\displaystyle 5$ 로 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다.
2.① 즉 $\displaystyle 4+2a+b=0$ 이다. 이때 분자는 $\displaystyle x-2$ 를 인수로 가지므로 $\displaystyle x^{2}+ax+b=(x-2)(x-m)$ 으로 쓸 수 있다.
3.① $\displaystyle \dfrac{(x-2)(x-m)}{x-2}=x-m$ 이고 $\displaystyle x\to 2$ 에서 극한값은 $\displaystyle 2-m=5$ 이므로 $\displaystyle m=-3$ 이다.
4.① 따라서 $\displaystyle x^{2}+ax+b=(x-2)(x+3)=x^{2}+x-6$ 이므로 $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-6$ 이다.
5.② $\displaystyle f(x)=\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x+3$ ( $\displaystyle x\ne 2$ )
6.③ $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}f(x)=2+3=5$ 이므로 $\displaystyle f(2)=5$ 로 정하면 $\displaystyle x=2$ 에서 연속이 된다.
7.④ $\displaystyle g(x)=x^{2}+x-6$ 이므로 $\displaystyle g'(x)=2x+1$ 이고 $\displaystyle g'(2)=4+1=5$

채점 포인트

1	① 분자가 $\displaystyle 0$ 으로 가야 함을 밝히고 $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-6$ 을 구한 경우	3
2	② $\displaystyle f(x)=x+3$	2
3	③ $\displaystyle f(2)=5$	2
4	④ $\displaystyle g'(x)=2x+1$ 을 구해 $\displaystyle g'(2)=5$ 를 구한 경우	3
계		10

실전 조언 · "분모가 $\displaystyle 0$ 으로 가는데 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 간다"는 문장이 ①의 첫 점수다. 이 한 줄 없이 계수만 맞히면 감점된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 24번

🎨 서경대 예상 논술 3회

시험지 출력