🎨 서경대 예상 논술 2회

해설

1. 1.① $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle 1$ 만큼 평행이동하면 $\displaystyle x$ 대신 $\displaystyle x-1$ 을 대입하므로 $\displaystyle y=2^{x-1}$ 이 된다.
2. 2.① 다시 $\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle -3$ 만큼 평행이동하면 $\displaystyle y=2^{x-1}-3$ 이므로 $\displaystyle f(x)=2^{x-1}-3$
3. 3.② $\displaystyle y=2^{x}$ 의 점근선은 $\displaystyle y=0$ 이고, $\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle -3$ 만큼 움직였으므로 점근선도 $\displaystyle -3$ 만큼 움직여 $\displaystyle y=-3$ 이다.
4. 4.③ $\displaystyle 2^{x-1}-3=0$ 에서 $\displaystyle 2^{x-1}=3$ 이다.
5. 5.③ 로그의 정의에 의하여 $\displaystyle x-1=\log_2 3$ 이므로 $\displaystyle x=1+\log_2 3$
6. 6.④ $\displaystyle 2^{x-1}-3\ge 5$ 에서 $\displaystyle 2^{x-1}\ge 8=2^{3}$ 이다.
7. 7.④ 밑 $\displaystyle 2$ 가 $\displaystyle 1$ 보다 크므로 부등호의 방향이 그대로 유지되어 $\displaystyle x-1\ge 3$ , 즉 $\displaystyle x\ge 4$ 이다. 따라서 최솟값은 $\displaystyle 4$ 이다.

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해설

1. 1.① 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^{2}=\overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{AC}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\cos A$ 이다.
2. 2.① 값을 대입하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^{2}=25+64-2\times 5\times 8\times\dfrac{1}{2}=89-40=49$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=7$
3. 3.② $\displaystyle \cos A=\dfrac{1}{2}$ 이고 $\displaystyle 0<A<\pi$ 이므로 $\displaystyle A=\dfrac{\pi}{3}$ , $\displaystyle \sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이다.
4. 4.② 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\times 5\times 8\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$
5. 5.③ 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}=2R$ 이므로 $\displaystyle 2R=\dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{14}{\sqrt{3}}$ 이다.
6. 6.③ 따라서 $\displaystyle R=\dfrac{7}{\sqrt{3}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$
7. 7.④ 내접원의 반지름을 $\displaystyle r$ 라 하면 삼각형의 넓이는 $\displaystyle r\times s$ ( $\displaystyle s$ 는 둘레의 절반)로 나타난다.
8. 8.④ $\displaystyle s=\dfrac{5+8+7}{2}=10$ 이므로 $\displaystyle 10\sqrt{3}=10r$ , 즉 $\displaystyle r=\sqrt{3}$

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해설

1. 1.① 접점을 $\displaystyle \left(t,\,t^{2}\right)$ 라 하면 $\displaystyle y'=2x$ 이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle 2t$ 이다.
2. 2.① 접선이 점 $\displaystyle (0,\,-4)$ 를 지나므로 $\displaystyle \dfrac{t^{2}-(-4)}{t-0}=2t$ , 즉 $\displaystyle t^{2}+4=2t^{2}$ 이다.
3. 3.① 따라서 $\displaystyle t^{2}=4$ 이고 $\displaystyle t=-2$ 또는 $\displaystyle t=2$ 이다.
4. 4.② $\displaystyle t=2$ 이면 기울기 $\displaystyle 4$ , 접점 $\displaystyle (2,\,4)$ 이므로 $\displaystyle y=4x-4$ 이다. $\displaystyle t=-2$ 이면 기울기 $\displaystyle -4$ , 접점 $\displaystyle (-2,\,4)$ 이므로 $\displaystyle y=-4x-4$
5. 5.③ 두 접선은 $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭이고 곡선도 $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle x\ge 0$ 쪽 넓이의 $\displaystyle 2$ 배를 구하면 된다.
6. 6.③ $\displaystyle 0\le x\le 2$ 에서 $\displaystyle x^{2}-(4x-4)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}\ge 0$ 이므로 곡선이 접선보다 위에 있다.
7. 7.③ $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 (x-2)^{2}dx=\left[\dfrac{(x-2)^{3}}{3}\right]_0^2=0-\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{8}{3}$ 이므로 전체 넓이는 $\displaystyle 2\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$
8. 8.④ $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 x^{2}dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^2=\dfrac{8}{3}$ 이므로 ③의 넓이 $\displaystyle \dfrac{16}{3}$ 은 이 값의 $\displaystyle 2$ 배이다.

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해설

1. 1.① $\displaystyle f'(x)=3x^{2}+2ax+b$ 이므로 $\displaystyle f'(1)=3+2a+b=0$
2. 2.① 또 $\displaystyle f(1)=1+a+b=-2$ 에서 $\displaystyle a+b=-3$ 이다.
3. 3.① 두 식을 연립하면 $\displaystyle (3+2a+b)-(1+a+b)=0-(-2)$ 에서 $\displaystyle 2+a=2$ , 즉 $\displaystyle a=0$ 이고 $\displaystyle b=-3$ 이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3x$
4. 4.② $\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=1$ 에서 극소이다.
5. 5.② $\displaystyle f(-1)=-1+3=2$ , $\displaystyle f(1)=1-3=-2$ 이므로 극댓값은 $\displaystyle 2$ , 극솟값은 $\displaystyle -2$ 이다.
6. 6.③ 방정식 $\displaystyle f(x)=k$ 의 실근은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=k$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표이다.
7. 7.③ 교점이 세 개가 되려면 $\displaystyle k$ 가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 하므로 $\displaystyle -2<k<2$ 이다.
8. 8.④ $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{3}-3x}{x}=x^{2}-3$ 이므로 $\displaystyle x\to 0$ 일 때 극한값은 $\displaystyle -3$ 이다.

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