🎨 서경대 예상 논술 1회

해설

1. 1.① $\displaystyle a_n=a_1r^{n-1}=2\times 4^{n-1}$ 이고 $\displaystyle 4=2^2$ 이므로 $\displaystyle 4^{n-1}=2^{2n-2}$ 이다. 따라서 $\displaystyle a_n=2^1\times 2^{2n-2}=2^{2n-1}$
2. 2.② 로그의 정의에 의하여 $\displaystyle \log_2 a_n=\log_2 2^{2n-1}=2n-1$
3. 3.③ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\log_2 a_k=\sum\limits_{k=1}^{10}(2k-1)$ 이고, 이는 첫째항이 $\displaystyle 1$ , 공차가 $\displaystyle 2$ 인 등차수열의 합이다.
4. 4.③ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}(2k-1)=2\times\dfrac{10\times 11}{2}-10=110-10=100$
5. 5.③ 홀수를 차례로 $\displaystyle 10$ 개 더한 것이므로 $\displaystyle 10^2=100$ 으로도 확인된다.
6. 6.④ $\displaystyle a_n=2^{2n-1}>1000$ 에서 $\displaystyle 2^{10}=1024>1000$ 이므로 $\displaystyle 2n-1\ge 10$ , 즉 $\displaystyle n\ge 5.5$ 이다.
7. 7.④ 실제로 $\displaystyle a_5=2^9=512<1000$ , $\displaystyle a_6=2^{11}=2048>1000$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle n=6$ 이다.

채점 포인트

해설

1. 1.① $\displaystyle a_1=2\sin\dfrac{\pi}{6}=2\times\dfrac{1}{2}=1$ , $\displaystyle a_2=2\sin\dfrac{\pi}{3}=2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ , $\displaystyle a_3=2\sin\dfrac{\pi}{2}=2$
2. 2.① 따라서 $\displaystyle a_1+a_2+a_3=1+\sqrt{3}+2=3+\sqrt{3}$
3. 3.② $\displaystyle \sin\dfrac{n\pi}{6}$ 은 $\displaystyle \dfrac{n\pi}{6}$ 이 $\displaystyle 2\pi$ 만큼 커질 때 같은 값이 되므로 $\displaystyle n$ 이 $\displaystyle 12$ 만큼 커질 때 반복된다. 즉 주기는 $\displaystyle 12$ 이다.
4. 4.③ 한 주기의 항을 모두 쓰면 $\displaystyle 1,\,\sqrt{3},\,2,\,\sqrt{3},\,1,\,0,\,-1,\,-\sqrt{3},\,-2,\,-\sqrt{3},\,-1,\,0$ 이다.
5. 5.③ 앞의 여섯 항과 뒤의 여섯 항이 부호만 반대이므로 한 주기의 합은 $\displaystyle 0$ 이다.
6. 6.③ $\displaystyle 24=12\times 2$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{24}a_k=2\times 0=0$
7. 7.④ $\displaystyle a_k=0$ 은 $\displaystyle \sin\dfrac{k\pi}{6}=0$ , 즉 $\displaystyle \dfrac{k\pi}{6}$ 이 $\displaystyle \pi$ 의 정수배일 때이므로 $\displaystyle k$ 가 $\displaystyle 6$ 의 배수일 때이다.
8. 8.④ $\displaystyle 24$ 이하의 $\displaystyle 6$ 의 배수는 $\displaystyle 6,\,12,\,18,\,24$ 의 $\displaystyle 4$ 개이다.

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해설

1. 1.① $\displaystyle x^3-3x=x$ 에서 $\displaystyle x^3-4x=0$ , $\displaystyle x\left(x^2-4\right)=0$ , $\displaystyle x(x-2)(x+2)=0$ 이므로 $\displaystyle x=-2$ , $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=2$
2. 2.② 제 $\displaystyle 1$ 사분면에 해당하는 구간은 $\displaystyle 0<x<2$ 이다. 이 구간에서 $\displaystyle x-\left(x^3-3x\right)=4x-x^3=x\left(4-x^2\right)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
3. 3.② 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(4x-x^3\right)dx=\left[2x^2-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^2=8-4=4$
4. 4.③ 두 함수 $\displaystyle y=x^3-3x$ 와 $\displaystyle y=x$ 는 모두 기함수이므로 그래프가 원점에 대하여 대칭이다.
5. 5.③ 따라서 $\displaystyle -2<x<0$ 에서 둘러싸인 부분의 넓이도 $\displaystyle 4$ 로 같다.
6. 6.③ 전체 넓이는 $\displaystyle 4+4=8$ 이다.
7. 7.④ $\displaystyle -2<x<0$ 에서는 곡선이 직선보다 위에 있고, 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{0}\left\{\left(x^3-3x\right)-x\right\}dx=\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(x^3-4x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$
8. 8.④ 두 함수가 모두 기함수라 두 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로, 원점을 기준으로 반대쪽 부분의 넓이가 같다.

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해설

1. 1.① 첫 번째 극한에서 $\displaystyle f(x)-x^3$ 은 최고차항의 계수가 $\displaystyle 2$ 인 이차함수이므로 $\displaystyle f(x)=x^3+2x^2+px+q$ 로 놓을 수 있다.
2. 2.① 두 번째 극한에서 $\displaystyle x\to 0$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle f(0)=q=0$
3. 3.① 이때 $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=x^2+2x+p$ 이고 $\displaystyle x\to 0$ 에서 극한값이 $\displaystyle p$ 이므로 $\displaystyle p=3$ 이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x^3+2x^2+3x$
4. 4.② $\displaystyle f'(x)=3x^2+4x+3$ 이므로 $\displaystyle f'(1)=3+4+3=10$
5. 5.③ $\displaystyle f(1)=1+2+3=6$ 이므로 접선은 점 $\displaystyle (1,\,6)$ 을 지나고 기울기가 $\displaystyle 10$ 이다. 즉 $\displaystyle y-6=10(x-1)$ , 정리하면 $\displaystyle y=10x-4$
6. 6.③ 따라서 $\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle -4$ 이다.
7. 7.④ $\displaystyle x$ 축과 만나는 점은 $\displaystyle y=0$ 인 점이므로 $\displaystyle 10x-4=0$ 에서 $\displaystyle x=\dfrac{2}{5}$ 이다.

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