🏫 상명대 예상 논술 3회

해설

1. 1.① $\displaystyle 2^{x}=5$ 에서 로그의 정의에 의하여 $\displaystyle x=\log_2 5=a$ 이다.
2. 2.② $\displaystyle 2^{y-x}=\dfrac{2^{y}}{2^{x}}=\dfrac{20}{5}=4=2^{2}$ 이므로 $\displaystyle y-x=2$ 이다.
3. 3.③ $\displaystyle 2^{x+y}=2^{x}\times 2^{y}=5\times 20=100$
4. 4.④ $\displaystyle 4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=\left(2^{x}\right)^{2}=5^{2}=25$
5. 5.⑤ $\displaystyle 2^{2x-y}=\dfrac{\left(2^{x}\right)^{2}}{2^{y}}=\dfrac{25}{20}=\dfrac{5}{4}$
6. 6.⑥ $\displaystyle y=\log_2 20=\log_2(4\times 5)=2+a$ 이고 $\displaystyle \log_5 20=\dfrac{\log_2 20}{\log_2 5}=\dfrac{2+a}{a}$ 이다.
7. 7.⑦ $\displaystyle \left(2^{\frac{x+y}{2}}\right)^{2}=2^{x+y}=100$ 이고 $\displaystyle 2^{\frac{x+y}{2}}>0$ 이므로 그 값은 $\displaystyle 10$ 이다.

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해설

1. 1.① $\displaystyle a_3=a_1 r^{2}$ 이므로 $\displaystyle 12=3r^{2}$ 에서 $\displaystyle r^{2}=4$ 이다. 모든 항이 양수이므로 $\displaystyle r=2$ 이다.
2. 2.② $\displaystyle a_n=3\times 2^{n-1}$
3. 3.③ $\displaystyle S_8=\dfrac{3\left(2^{8}-1\right)}{2-1}=3\times 255=765$
4. 4.④ $\displaystyle \dfrac{a_k}{3}=2^{k-1}$ 이므로 $\displaystyle \log_2\dfrac{a_k}{3}=k-1$ 이고, $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{8}(k-1)=0+1+\cdots+7=\dfrac{7\times 8}{2}=28$ 이다.
5. 5.⑤ $\displaystyle 3\times 2^{n-1}>1000$ 에서 $\displaystyle 2^{n-1}>\dfrac{1000}{3}\approx 333.3$ 이다. $\displaystyle 2^{8}=256<333.3$ , $\displaystyle 2^{9}=512>333.3$ 이므로 $\displaystyle n-1\ge 9$ , 즉 $\displaystyle n=10$ 이다. ( $\displaystyle a_{10}=1536$ )
6. 6.⑥ $\displaystyle a_2=6$ , $\displaystyle a_4=24$ 이므로 $\displaystyle a_2 a_4=144$ 이다. 이는 $\displaystyle a_3^{2}=12^{2}=144$ 와 같다.
7. 7.⑦ $\displaystyle S_n=3\left(2^{n}-1\right)>3000$ 에서 $\displaystyle 2^{n}-1>1000$ , 즉 $\displaystyle 2^{n}>1001$ 이다.
8. 8.⑦ $\displaystyle 2^{9}=512<1001$ 이고 $\displaystyle 2^{10}=1024>1001$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle n=10$ 이다. ( $\displaystyle S_{10}=3069$ , $\displaystyle S_9=1533$ )

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해설

1. 1.① $\displaystyle f'(x)=3x^{2}-6x$
2. 2.② $\displaystyle f'(1)=3-6=-3$
3. 3.③ $\displaystyle f'(x)=3x(x-2)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$ 이고 부호가 양 → 음 → 양이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다. 극댓값은 $\displaystyle f(0)=2$ , 극솟값은 $\displaystyle f(2)=8-12+2=-2$ 이다.
4. 4.④ $\displaystyle f(1)=1-3+2=0$ 이고 기울기는 $\displaystyle f'(1)=-3$ 이므로 접선은 $\displaystyle y-0=-3(x-1)$ , 즉 $\displaystyle y=-3x+3$ 이다.
5. 5.⑤ 극댓값 $\displaystyle 2>0$ , 극솟값 $\displaystyle -2<0$ 이므로 곡선은 $\displaystyle x$ 축과 서로 다른 세 점에서 만난다. 따라서 실근은 $\displaystyle 3$ 개이다.
6. 6.⑥ $\displaystyle \dfrac{f(1+2h)-f(1)}{h}=2\times\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{2h}$ 이고 $\displaystyle h\to 0$ 일 때 $\displaystyle 2h\to 0$ 이므로 극한값은 $\displaystyle 2f'(1)=-6$ 이다.
7. 7.⑦ 직선 $\displaystyle y=k$ 와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 의 교점이 세 개여야 하므로 $\displaystyle k$ 가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 한다. 즉 $\displaystyle -2<k<2$ 이다.

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해설

1. 1.① $\displaystyle a_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$
2. 2.② 분모 $\displaystyle \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ 의 켤레인 $\displaystyle \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 을 분모와 분자에 곱한다.
3. 3.② 분모는 $\displaystyle \left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=(n+1)-n=1$ 이 된다.
4. 4.② 따라서 $\displaystyle a_n=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 이다.
5. 5.③ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{24}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)$ 에서 가운데 항이 모두 소거되어 $\displaystyle \sqrt{25}-\sqrt{1}=5-1=4$ 가 남는다.
6. 6.④ 같은 방법으로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\sqrt{n+1}-1$ 이다.
7. 7.④ $\displaystyle \sqrt{n+1}-1>5$ 에서 $\displaystyle \sqrt{n+1}>6$ , 즉 $\displaystyle n+1>36$ 이므로 $\displaystyle n>35$ 이다. 따라서 최소의 자연수는 $\displaystyle n=36$ 이다.
8. 8.⑤ $\displaystyle a_{99}+a_{100}=\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)+\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)=\sqrt{101}-\sqrt{99}$ 이다.

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해설

1. 1.① 코사인법칙에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^{2}=5^{2}+3^{2}-2\times 5\times 3\times\cos\dfrac{2\pi}{3}=25+9-30\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=34+15=49$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=7$ 이다.
2. 2.② 넓이 공식은 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\sin A$ 이다.
3. 3.② $\displaystyle A=\dfrac{2\pi}{3}$ 이므로 $\displaystyle \sin A=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이다.
4. 4.② 따라서 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\times 5\times 3\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$ 이다.
5. 5.③ 사인법칙에서 $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}=2R$ 이므로 $\displaystyle 2R=\dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{14}{\sqrt{3}}$ , 즉 $\displaystyle R=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ 이다.
6. 6.④ 둘레의 절반은 $\displaystyle s=\dfrac{5+3+7}{2}=\dfrac{15}{2}$ 이고 $\displaystyle S=rs$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{15\sqrt{3}}{4}=r\times\dfrac{15}{2}$ 에서 $\displaystyle r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이다.
7. 7.⑤ 코사인법칙에서 $\displaystyle \cos B=\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{BC}}^{2}-\overline{\mathrm{AC}}^{2}}{2\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{BC}}}=\dfrac{25+49-9}{2\times 5\times 7}=\dfrac{65}{70}=\dfrac{13}{14}$ 이다.

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해설

1. 1.① $\displaystyle \log_2 x=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 이므로 점 $\displaystyle (1,\,0)$ 이다.
2. 2.② $\displaystyle y=\log_2 x$ 의 점근선 $\displaystyle x=0$ 이 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle 3$ 만큼 옮겨졌으므로 $\displaystyle x=3$ 이다.
3. 3.③ $\displaystyle \log_2(x-3)+1=0$ 에서 $\displaystyle \log_2(x-3)=-1$ 이므로 $\displaystyle x-3=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$ , 즉 $\displaystyle x=\dfrac{7}{2}$ 이다.
4. 4.④ $\displaystyle x$ 대신 $\displaystyle x-3$ 을, 식 전체에 $\displaystyle +1$ 을 하였으므로 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle 3$ , $\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle 1$ 만큼 평행이동한 것이다.
5. 5.⑤ $\displaystyle \log_2 x=\log_2(x-3)+1=\log_2(x-3)+\log_2 2=\log_2\{2(x-3)\}$ 이다.
6. 6.⑤ 밑이 같으므로 $\displaystyle x=2(x-3)=2x-6$ 에서 $\displaystyle x=6$ 이다. 진수조건 $\displaystyle x>3$ 을 만족시키므로 교점은 $\displaystyle \left(6,\,\log_2 6\right)$ 이다.
7. 7.⑥ $\displaystyle \log_2(x-3)+1=3$ 에서 $\displaystyle \log_2(x-3)=2$ 이므로 $\displaystyle x-3=4$ , 즉 $\displaystyle x=7$ 이다.

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해설

1. 1.① $\displaystyle x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)=0$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=3$ 이다.
2. 2.② $\displaystyle y=(x-2)^{2}-1$ 이므로 꼭짓점은 $\displaystyle (2,\,-1)$ 이다.
3. 3.③ $\displaystyle 1<x<3$ 에서 $\displaystyle x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)<0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축보다 아래에 있다.
4. 4.③ 따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_1^3\left\{0-\left(x^{2}-4x+3\right)\right\}dx=\displaystyle\int_1^3\left(-x^{2}+4x-3\right)dx$ 이다.
5. 5.③ $\displaystyle \left[-\dfrac{x^{3}}{3}+2x^{2}-3x\right]_1^3=(-9+18-9)-\left(-\dfrac{1}{3}+2-3\right)=0-\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$
6. 6.④ 교점은 $\displaystyle x^{2}-4x+3=3$ 에서 $\displaystyle x^{2}-4x=x(x-4)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=4$ 이다.
7. 7.④ $\displaystyle 0<x<4$ 에서 직선이 위에 있으므로 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4\left(4x-x^{2}\right)dx=\left[2x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^4=32-\dfrac{64}{3}=\dfrac{32}{3}$ 이다.
8. 8.⑤ $\displaystyle x$ 축 아래에 있는 부분은 곡선과 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 부분 그 자체이므로 ③의 $\displaystyle \dfrac{4}{3}$ 과 같다.

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해설

1. 1.① $\displaystyle x(t)=1+\displaystyle\int_0^t\left(3s^{2}-6s\right)ds=1+\left[s^{3}-3s^{2}\right]_0^t=t^{3}-3t^{2}+1$
2. 2.② $\displaystyle v(t)=3t(t-2)=0$ 에서 $\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle t=2$ 이다. $\displaystyle 0<t<2$ 에서 $\displaystyle v<0$ , $\displaystyle t>2$ 에서 $\displaystyle v>0$ 이므로 방향이 바뀌는 시각은 $\displaystyle t=2$ 이다.
3. 3.③ $\displaystyle x(4)=64-48+1=17$
4. 4.④ $\displaystyle x(0)=1$ , $\displaystyle x(2)=8-12+1=-3$ , $\displaystyle x(4)=17$ 이므로 방향이 바뀌는 $\displaystyle t=2$ 에서 끊어 $\displaystyle |-3-1|+|17-(-3)|=4+20=24$ 이다.
5. 5.⑤ $\displaystyle 0\le t\le 4$ 에서 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle t=2$ 까지 감소하고 그 뒤 증가하므로 최솟값은 $\displaystyle x(2)=-3$ 이다.
6. 6.⑥ 가속도는 $\displaystyle v'(t)=6t-6$ 이므로 $\displaystyle 6t-6=0$ 에서 $\displaystyle t=1$ 이다.

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