상명대 예상 논술 2회 · 태랑이 대학가기

1번10점수학Ⅰ · 로그의 성질, 상용로그

상용로그의 값이 다음과 같이 주어져 있다. 이때 아래 물음에 답하시오. (10점)

(가) $\displaystyle \log 2=0.3010$

(나) $\displaystyle \log 3=0.4771$

(다) $\displaystyle \log 7=0.8451$

① $\displaystyle \log 6$ 의 값을 구하시오.

② $\displaystyle \log 5$ 의 값을 구하시오.

③ $\displaystyle \log 12$ 의 값을 구하시오.

④ $\displaystyle \log 1.5$ 의 값을 구하시오.

⑤ $\displaystyle 2^{10}$ 은 몇 자리 자연수인지 구하시오.

⑥ $\displaystyle \log 72$ 의 값을 구하시오.

⑦ $\displaystyle \log 14$ 의 값을 구하시오.

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정답 · ① $\displaystyle 0.7781$ ② $\displaystyle 0.6990$ ③ $\displaystyle 1.0791$ ④ $\displaystyle 0.1761$ ⑤ $\displaystyle 4$ 자리 ⑥ $\displaystyle 1.8572$ ⑦ $\displaystyle 1.1461$

해설

1.① $\displaystyle \log 6=\log(2\times 3)=\log 2+\log 3=0.3010+0.4771=0.7781$
2.② $\displaystyle \log 5=\log\dfrac{10}{2}=\log 10-\log 2=1-0.3010=0.6990$
3.③ $\displaystyle \log 12=\log\left(2^{2}\times 3\right)=2\log 2+\log 3=0.6020+0.4771=1.0791$
4.④ $\displaystyle \log 1.5=\log\dfrac{3}{2}=\log 3-\log 2=0.4771-0.3010=0.1761$
5.⑤ $\displaystyle \log 2^{10}=10\log 2=3.010$ 이므로 $\displaystyle 3<\log 2^{10}<4$ , 즉 $\displaystyle 10^{3}<2^{10}<10^{4}$ 이다. 따라서 $\displaystyle 2^{10}$ 은 $\displaystyle 4$ 자리 자연수이다.
6.⑥ $\displaystyle \log 72=\log\left(2^{3}\times 3^{2}\right)=3\log 2+2\log 3=0.9030+0.9542=1.8572$
7.⑦ $\displaystyle \log 14=\log(2\times 7)=\log 2+\log 7=0.3010+0.8451=1.1461$

채점 포인트

1	① $\displaystyle 0.7781$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
2	② $\displaystyle 0.6990$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
3	③ $\displaystyle 1.0791$ (단답이라 부분점수 없음)	1
4	④ $\displaystyle 0.1761$ (단답이라 부분점수 없음)	1
5	⑤ $\displaystyle 4$ 자리 (단답이라 부분점수 없음)	1.5
6	⑥ $\displaystyle 1.8572$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
7	⑦ $\displaystyle 1.1461$ (단답이라 부분점수 없음)	2
계		10

실전 조언 · ⑤는 "(정수부) $\displaystyle +1$ = 자릿수"다. $\displaystyle \log 2^{10}$ 의 정수부가 $\displaystyle 3$ 이므로 $\displaystyle 4$ 자리다. 실제로 $\displaystyle 2^{10}=1024$ 로 검산된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 32번

2번10점수학Ⅰ · 등차수열, 등차수열의 합

등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. 이때 아래 물음에 답하시오. (10점)

(가) $\displaystyle a_3=11$

(나) 첫째항부터 제 $\displaystyle 6$ 항까지의 합은 $\displaystyle 78$ 이다.

(다) $\displaystyle S_n$ 은 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합이다.

① 첫째항 $\displaystyle a_1$ 과 공차 $\displaystyle d$ 를 구하시오.

② $\displaystyle a_{10}$ 의 값을 구하시오.

③ $\displaystyle S_{10}$ 의 값을 구하시오.

④ $\displaystyle S_n>500$ 을 만족시키는 최소의 자연수 $\displaystyle n$ 을 구하시오.

⑤ $\displaystyle a_k>100$ 을 만족시키는 최소의 자연수 $\displaystyle k$ 를 구하시오.

⑥ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_{2k}$ 의 값을 구하시오.

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정답 · ① $\displaystyle a_1=3$ , $\displaystyle d=4$ ② $\displaystyle 39$ ③ $\displaystyle 210$ ④ $\displaystyle 16$ ⑤ $\displaystyle 26$ ⑥ $\displaystyle 430$

해설

1.① $\displaystyle a_3=a_1+2d=11$ 이고 $\displaystyle S_6=\dfrac{6\left\{2a_1+5d\right\}}{2}=3\left(2a_1+5d\right)=78$ 이므로 $\displaystyle 2a_1+5d=26$ 이다.
2.① $\displaystyle a_1=11-2d$ 를 대입하면 $\displaystyle 22-4d+5d=26$ 에서 $\displaystyle d=4$ 이고 $\displaystyle a_1=11-8=3$ 이다. 따라서 $\displaystyle a_n=4n-1$ 이다.
3.② $\displaystyle a_{10}=4\times 10-1=39$
4.③ $\displaystyle S_{10}=\dfrac{10(3+39)}{2}=5\times 42=210$
5.④ $\displaystyle S_n=\dfrac{n\{2\times 3+(n-1)\times 4\}}{2}=\dfrac{n(4n+2)}{2}=n(2n+1)$ 이다.
6.④ $\displaystyle n=15$ 이면 $\displaystyle 15\times 31=465<500$ 이고 $\displaystyle n=16$ 이면 $\displaystyle 16\times 33=528>500$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle 16$ 이다.
7.⑤ $\displaystyle 4k-1>100$ 에서 $\displaystyle 4k>101$ , 즉 $\displaystyle k>25.25$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle k=26$ 이다. ( $\displaystyle a_{26}=103$ )
8.⑥ $\displaystyle a_{2k}=4(2k)-1=8k-1$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}(8k-1)=8\times 55-10=440-10=430$

채점 포인트

1	① $\displaystyle a_1=3$ , $\displaystyle d=4$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
2	② $\displaystyle 39$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
3	③ $\displaystyle 210$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
4	④ $\displaystyle 16$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
5	⑤ $\displaystyle 26$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
6	⑥ $\displaystyle 430$ (단답이라 부분점수 없음)	2.5
계		10

실전 조언 · $\displaystyle S_n=n(2n+1)$ 처럼 인수 형태로 정리해 두면 ④에서 대입 검산이 빠르다. 이차부등식을 근의 공식으로 풀 필요가 없다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 26번

3번10점수학Ⅱ · 함수의 극한, 함수의 연속

두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 와 함수 $\displaystyle f$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 이때 아래 물음에 답하시오. (10점)

(가) $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+ax+b}{x^{2}-4}\ (x\ne\pm 2)$

(나) $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}f(x)=\dfrac{5}{4}$

(다) 분자를 $\displaystyle p(x)=x^{2}+ax+b$ 라 한다.

① $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.

② $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오.

③ $\displaystyle f(0)$ 의 값을 구하시오.

④ $\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ 의 값을 구하시오.

⑤ $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=2$ 에서 연속이 되도록 $\displaystyle f(2)$ 를 정하시오.

⑥ $\displaystyle \lim\limits_{x\to-2}(x+2)f(x)$ 의 값을 구하시오.

⑦ $\displaystyle p'(2)$ 의 값을 구하시오.

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정답 · ① $\displaystyle 1$ ② $\displaystyle -6$ ③ $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ ④ $\displaystyle 1$ ⑤ $\displaystyle \dfrac{5}{4}$ ⑥ $\displaystyle 1$ ⑦ $\displaystyle 5$

해설

1.① $\displaystyle x\to 2$ 일 때 분모 $\displaystyle x^{2}-4\to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle 4+2a+b=0$ 이다.
2.① 그러므로 분자는 $\displaystyle x-2$ 를 인수로 가지며 $\displaystyle x^{2}+ax+b=(x-2)(x-c)$ 로 쓸 수 있다.
3.① 이때 $\displaystyle f(x)=\dfrac{(x-2)(x-c)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x-c}{x+2}$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}f(x)=\dfrac{2-c}{4}=\dfrac{5}{4}$ 에서 $\displaystyle c=-3$ 이다.
4.① 따라서 $\displaystyle x^{2}+ax+b=(x-2)(x+3)=x^{2}+x-6$ 이므로 $\displaystyle a=1$ 이다.
5.② 위에서 $\displaystyle b=-6$ 이다.
6.③ $\displaystyle f(0)=\dfrac{0-(-3)}{0+2}=\dfrac{3}{2}$
7.④ $\displaystyle f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ 이고 분자와 분모를 $\displaystyle x$ 로 나누면 $\displaystyle \dfrac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{2}{x}}$ 이므로 $\displaystyle x\to\infty$ 에서 극한값은 $\displaystyle 1$ 이다.
8.⑤ 연속이려면 $\displaystyle f(2)=\lim\limits_{x\to 2}f(x)=\dfrac{5}{4}$ 로 정해야 한다.
9.⑥ $\displaystyle f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ 이므로 $\displaystyle (x+2)f(x)=x+3$ 이고, $\displaystyle x\to-2$ 에서 그 값은 $\displaystyle -2+3=1$ 이다.
10.⑦ $\displaystyle p(x)=x^{2}+x-6$ 이므로 $\displaystyle p'(x)=2x+1$ 이고 $\displaystyle p'(2)=5$ 이다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle 1$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
2	② $\displaystyle -6$ (단답이라 부분점수 없음)	1
3	③ $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
4	④ $\displaystyle 1$ (단답이라 부분점수 없음)	1
5	⑤ $\displaystyle \dfrac{5}{4}$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
6	⑥ $\displaystyle 1$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
7	⑦ $\displaystyle 5$ (단답이라 부분점수 없음)	2
계		10

실전 조언 · 약분 후 $\displaystyle f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ 라는 간단한 꼴이 남는다. ③④⑤가 모두 이 한 줄에서 나오므로 약분을 먼저 끝낸다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 27번

4번10점수학Ⅰ · 수열의 귀납적 정의, 등차수열

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. 이때 아래 물음에 답하시오. (10점)

(가) $\displaystyle a_1=2$

(나) 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+1}$

(다) $\displaystyle b_n=\dfrac{1}{a_n}$ 이라 한다.

① $\displaystyle a_2$ 와 $\displaystyle a_3$ 의 값을 구하시오.

② 일반항 $\displaystyle a_n$ 을 구하는 과정을 서술하시오.

③ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{1}{a_k}$ 의 값을 구하시오.

④ $\displaystyle a_n<\dfrac{1}{10}$ 을 만족시키는 최소의 자연수 $\displaystyle n$ 을 구하시오.

⑤ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k a_{k+1}$ 의 값을 구하시오.

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정답 · ① $\displaystyle a_2=\dfrac{2}{3}$ , $\displaystyle a_3=\dfrac{2}{5}$ ② $\displaystyle a_n=\dfrac{2}{2n-1}$ ③ $\displaystyle 50$ ④ $\displaystyle 11$ ⑤ $\displaystyle \dfrac{40}{21}$

해설

1.① $\displaystyle a_2=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$ , $\displaystyle a_3=\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+1}=\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\dfrac{2}{5}$
2.② $\displaystyle a_1=2>0$ 이고 $\displaystyle a_n>0$ 이면 $\displaystyle a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+1}>0$ 이므로 모든 항이 양수이다. 따라서 역수를 취할 수 있다.
3.② 양변의 역수를 취하면 $\displaystyle \dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{a_n+1}{a_n}=1+\dfrac{1}{a_n}$ 이다.
4.② $\displaystyle b_n=\dfrac{1}{a_n}$ 이라 하면 $\displaystyle b_{n+1}=b_n+1$ 이므로 $\displaystyle \{b_n\}$ 은 공차가 $\displaystyle 1$ 인 등차수열이고 $\displaystyle b_1=\dfrac{1}{2}$ 이다.
5.② 그러므로 $\displaystyle b_n=\dfrac{1}{2}+(n-1)=\dfrac{2n-1}{2}$ 이고 $\displaystyle a_n=\dfrac{1}{b_n}=\dfrac{2}{2n-1}$ 이다.
6.③ $\displaystyle \dfrac{1}{a_k}=b_k=\dfrac{2k-1}{2}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{1}{a_k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{10}(2k-1)=\dfrac{1}{2}\times 100=50$
7.④ $\displaystyle \dfrac{2}{2n-1}<\dfrac{1}{10}$ 에서 $\displaystyle 2n-1>20$ , 즉 $\displaystyle n>10.5$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle n=11$ 이다. ( $\displaystyle a_{11}=\dfrac{2}{21}$ )
8.⑤ $\displaystyle a_k a_{k+1}=\dfrac{2}{2k-1}\times\dfrac{2}{2k+1}=\dfrac{4}{(2k-1)(2k+1)}=2\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)$ 이므로 소거하면 $\displaystyle 2\left(1-\dfrac{1}{21}\right)=\dfrac{40}{21}$ 이다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle a_2=\dfrac{2}{3}$ , $\displaystyle a_3=\dfrac{2}{5}$ (단답이라 부분점수 없음)	3.5
2	② 모든 항이 양수임을 확인해 역수를 취할 수 있음을 밝힌 경우	1
3	② 역수를 취해 $\displaystyle \dfrac{1}{a_{n+1}}=1+\dfrac{1}{a_n}$ 을 얻은 경우	1.4
4	② $\displaystyle b_n=\dfrac{1}{a_n}$ 이 공차 $\displaystyle 1$ 의 등차수열임을 밝힌 경우	1
5	② $\displaystyle a_n=\dfrac{2}{2n-1}$ 을 얻은 경우	0.6
6	③ $\displaystyle 50$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
7	④ $\displaystyle 11$ (단답이라 부분점수 없음)	0.5
8	⑤ $\displaystyle \dfrac{40}{21}$ (단답이라 부분점수 없음)	0.5
계		10

실전 조언 · 분수 점화식은 역수를 취한다. 다만 "모든 항이 양수"를 먼저 확인해야 역수를 취할 수 있고, 그 한 줄에 $\displaystyle 1$ 점이 붙는다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적귀납법 30번

5번10점수학Ⅰ · 로그함수, 역함수

함수 $\displaystyle f$ 가 다음과 같이 정의되어 있다. 이때 아래 물음에 답하시오. (10점)

(가) $\displaystyle f(x)=\log_3(x-1)+2$ ( $\displaystyle x>1$ )

① $\displaystyle f(4)$ 의 값을 구하시오.

② $\displaystyle f$ 의 역함수 $\displaystyle g$ 를 구하는 과정을 서술하시오.

③ $\displaystyle g(3)$ 의 값을 구하고 ①의 결과와 모순이 없는지 확인하시오.

④ $\displaystyle f(x)=4$ 를 만족시키는 $\displaystyle x$ 의 값을 구하시오.

⑤ $\displaystyle g(2)$ 의 값을 구하시오.

⑥ $\displaystyle f(g(5))$ 의 값을 구하고 그 근거를 한 문장으로 쓰시오.

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정답 · ① $\displaystyle 3$ ② $\displaystyle g(x)=3^{x-2}+1$ ③ $\displaystyle g(3)=4$ , ①과 일치한다 ④ $\displaystyle x=10$ ⑤ $\displaystyle 2$ ⑥ $\displaystyle 5$ ( $\displaystyle f$ 와 $\displaystyle g$ 가 서로 역함수이므로)

해설

1.① $\displaystyle f(4)=\log_3 3+2=1+2=3$
2.② $\displaystyle y=\log_3(x-1)+2$ 로 놓고 $\displaystyle x$ 에 대하여 푼다. $\displaystyle y-2=\log_3(x-1)$ 이다.
3.② 로그의 정의에 의하여 $\displaystyle x-1=3^{y-2}$ , 즉 $\displaystyle x=3^{y-2}+1$ 이다.
4.② $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 서로 바꾸면 역함수는 $\displaystyle g(x)=3^{x-2}+1$ 이다. 정의역은 $\displaystyle f$ 의 치역인 실수 전체이다.
5.② 실제로 $\displaystyle (g\circ f)(x)=3^{\left\{\log_3(x-1)+2\right\}-2}+1=(x-1)+1=x$ 이므로 $\displaystyle g$ 가 $\displaystyle f$ 의 역함수임이 확인된다.
6.③ $\displaystyle g(3)=3^{1}+1=4$ 이고 ①에서 $\displaystyle f(4)=3$ 이었으므로 $\displaystyle f(4)=3\iff g(3)=4$ 로 서로 모순이 없다.
7.④ $\displaystyle \log_3(x-1)+2=4$ 에서 $\displaystyle \log_3(x-1)=2$ 이므로 $\displaystyle x-1=3^{2}=9$ , 즉 $\displaystyle x=10$ 이다.
8.⑤ $\displaystyle g(2)=3^{2-2}+1=3^{0}+1=2$
9.⑥ $\displaystyle f$ 와 $\displaystyle g$ 는 서로 역함수이므로 $\displaystyle f(g(x))=x$ 가 성립한다. 따라서 $\displaystyle f(g(5))=5$ 이다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle 3$ (단답이라 부분점수 없음)	2
2	② $\displaystyle y-2=\log_3(x-1)$ 로 정리한 경우	1.2
3	② 로그의 정의로 $\displaystyle x=3^{y-2}+1$ 을 얻은 경우	1.2
4	② $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 바꾸어 $\displaystyle g(x)=3^{x-2}+1$ 을 쓴 경우	0.8
5	② 합성해 $\displaystyle (g\circ f)(x)=x$ 로 검산한 경우	0.8
6	③ $\displaystyle g(3)=4$ 이고 ①과 일치함을 밝힌 경우	1.5
7	④ $\displaystyle x=10$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
8	⑤ $\displaystyle 2$ (단답이라 부분점수 없음)	0.5
9	⑥ $\displaystyle 5$ 와 근거를 함께 쓴 경우	0.5
계		10

실전 조언 · 역함수는 " $\displaystyle x$ 에 대해 풀고 문자를 바꾼다"의 두 단계다. 각 단계에 $\displaystyle 1.2$ 점이 따로 붙으므로 두 줄을 모두 쓴다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 22번

6번10점수학Ⅰ · 삼각방정식, 이차방정식

방정식이 다음과 같이 주어져 있다. 이때 아래 물음에 답하시오. (10점)

(가) $\displaystyle 2\sin^{2}x-3\cos x=0$

(나) $\displaystyle 0\le x<2\pi$

(다) 같은 방정식을 $\displaystyle 0\le x<4\pi$ 에서도 생각한다.

① 주어진 방정식을 $\displaystyle \cos x$ 에 대한 이차방정식으로 나타내시오.

② $\displaystyle \cos x$ 의 값을 구하고, 버려야 하는 값이 있으면 그 이유를 쓰시오.

③ $\displaystyle x$ 의 값을 모두 구하시오.

④ 모든 해의 합을 구하시오.

⑤ 각 해에 대한 $\displaystyle \sin x$ 의 값의 합을 구하시오.

⑥ 조건 (다)의 범위에서 해의 개수를 구하시오.

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정답 · ① $\displaystyle 2\cos^{2}x+3\cos x-2=0$ ② $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$ ( $\displaystyle \cos x=-2$ 는 $\displaystyle -1\le\cos x\le 1$ 에 어긋나 버린다) ③ $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{3}$ ④ $\displaystyle 2\pi$ ⑤ $\displaystyle 0$ ⑥ $\displaystyle 4$

해설

1.① $\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x$ 를 대입하면 $\displaystyle 2\left(1-\cos^{2}x\right)-3\cos x=0$ , 즉 $\displaystyle -2\cos^{2}x-3\cos x+2=0$ 이다. 양변에 $\displaystyle -1$ 을 곱하면 $\displaystyle 2\cos^{2}x+3\cos x-2=0$
2.② $\displaystyle \cos x=c$ 로 놓으면 $\displaystyle 2c^{2}+3c-2=(2c-1)(c+2)=0$ 이므로 $\displaystyle c=\dfrac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle c=-2$ 이다.
3.② $\displaystyle -1\le\cos x\le 1$ 이므로 $\displaystyle c=-2$ 는 버리고 $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$ 만 남는다.
4.③ $\displaystyle 0\le x<2\pi$ 에서 $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$ 인 $\displaystyle x$ 는 제 $\displaystyle 1$ 사분면의 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$ 과 제 $\displaystyle 4$ 사분면의 $\displaystyle 2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$ 이다.
5.④ 두 해의 합은 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{6\pi}{3}=2\pi$ 이다.
6.⑤ $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \sin\dfrac{5\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로 합은 $\displaystyle 0$ 이다.
7.⑥ 코사인함수의 주기가 $\displaystyle 2\pi$ 이므로 $\displaystyle 0\le x<4\pi$ 는 두 주기이고, 한 주기에 해가 $\displaystyle 2$ 개이므로 모두 $\displaystyle 4$ 개이다. 실제로 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{3},\,\dfrac{7\pi}{3},\,\dfrac{11\pi}{3}$ 이다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle 2\cos^{2}x+3\cos x-2=0$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
2	② $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$ 과 버리는 이유를 함께 쓴 경우	2
3	③ $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{3}$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
4	④ $\displaystyle 2\pi$ (단답이라 부분점수 없음)	2
5	⑤ $\displaystyle 0$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
6	⑥ $\displaystyle 4$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
계		10

실전 조언 · ②에서 $\displaystyle \cos x=-2$ 를 "버린다"고만 쓰면 안 되고 $\displaystyle -1\le\cos x\le 1$ 을 근거로 써야 점수가 인정된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수 33번

7번10점수학Ⅱ · 접선의 방정식, 정적분과 넓이

곡선과 두 직선이 다음과 같다. 이때 아래 물음에 답하시오. (10점)

(가) 곡선 $\displaystyle y=x^{2}$ 과 그 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(1,\,1)$

(나) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서의 접선 $\displaystyle l$

(다) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 지나고 $\displaystyle l$ 에 수직인 직선 $\displaystyle m$

① 접선 $\displaystyle l$ 의 방정식을 구하시오.

② 직선 $\displaystyle m$ 의 방정식을 구하시오.

③ 직선 $\displaystyle m$ 이 곡선 (가)와 만나는 점 중 $\displaystyle \mathrm{A}$ 가 아닌 점의 좌표를 구하시오.

④ 곡선 (가)와 직선 $\displaystyle m$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

⑤ 두 직선 $\displaystyle l$ , $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

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정답 · ① $\displaystyle y=2x-1$ ② $\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ ③ $\displaystyle \left(-\dfrac{3}{2},\,\dfrac{9}{4}\right)$ ④ $\displaystyle \dfrac{125}{48}$ ⑤ $\displaystyle \dfrac{5}{4}$

해설

1.① $\displaystyle y'=2x$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서의 기울기는 $\displaystyle 2$ 이고, 접선은 $\displaystyle y-1=2(x-1)$ , 즉 $\displaystyle y=2x-1$ 이다.
2.② $\displaystyle l$ 에 수직이므로 기울기는 $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ 이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}(1,\,1)$ 을 지나므로 $\displaystyle y-1=-\dfrac{1}{2}(x-1)$ , 즉 $\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ 이다.
3.③ $\displaystyle x^{2}=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ 의 양변에 $\displaystyle 2$ 를 곱하면 $\displaystyle 2x^{2}+x-3=0$ 이고, $\displaystyle (2x+3)(x-1)=0$ 이므로 $\displaystyle x=-\dfrac{3}{2}$ 또는 $\displaystyle x=1$ 이다.
4.③ $\displaystyle \mathrm{A}$ 가 아닌 점은 $\displaystyle x=-\dfrac{3}{2}$ 일 때이고 $\displaystyle y=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}$ 이므로 $\displaystyle \left(-\dfrac{3}{2},\,\dfrac{9}{4}\right)$ 이다.
5.④ $\displaystyle -\dfrac{3}{2}<x<1$ 에서 $\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\right)-x^{2}=-\dfrac{1}{2}\left(2x^{2}+x-3\right)=-\left(x-1\right)\left(x+\dfrac{3}{2}\right)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
6.④ 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^{1}\left(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}-x^{2}\right)dx=\left[-\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{3x}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-\frac{3}{2}}^{1}$
7.④ $\displaystyle x=1$ 에서의 값은 $\displaystyle -\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{12}$ 이고, $\displaystyle x=-\dfrac{3}{2}$ 에서의 값은 $\displaystyle -\dfrac{9}{16}-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{8}=-\dfrac{27}{16}$ 이다.
8.④ 따라서 넓이는 $\displaystyle \dfrac{11}{12}+\dfrac{27}{16}=\dfrac{44}{48}+\dfrac{81}{48}=\dfrac{125}{48}$ 이다.
9.④ 두 교점의 $\displaystyle x$ 좌표의 차가 $\displaystyle 1-\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{5}{2}$ 이므로 공식 $\displaystyle \dfrac{|a|(\beta-\alpha)^{3}}{6}=\dfrac{1\times\left(\frac{5}{2}\right)^{3}}{6}=\dfrac{125}{48}$ 로도 검산된다.
10.⑤ $\displaystyle l$ 의 $\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle -1$ , $\displaystyle m$ 의 $\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ 이고 두 직선은 점 $\displaystyle \mathrm{A}(1,\,1)$ 에서 만난다.
11.⑤ $\displaystyle y$ 축 위의 두 절편 사이의 거리가 $\displaystyle \dfrac{3}{2}-(-1)=\dfrac{5}{2}$ 이고 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서 $\displaystyle y$ 축까지의 거리가 $\displaystyle 1$ 이므로 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{2}\times 1=\dfrac{5}{4}$ 이다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle y=2x-1$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
2	② $\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
3	③ $\displaystyle \left(-\dfrac{3}{2},\,\dfrac{9}{4}\right)$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
4	④ 구간에서 직선이 곡선보다 위에 있음을 판정한 경우	1.5
5	④ 정적분을 바르게 세운 경우	1.2
6	④ 부정적분을 구해 두 끝값을 대입한 경우	1
7	④ 넓이 $\displaystyle \dfrac{125}{48}$ 을 구한 경우	0.8
8	⑤ $\displaystyle \dfrac{5}{4}$ (단답이라 부분점수 없음)	1
계		10

실전 조언 · ④는 넓이 공식 $\displaystyle \dfrac{|a|(\beta-\alpha)^{3}}{6}$ 으로 먼저 답을 알고 적분으로 확인하면 계산 실수를 잡을 수 있다. 분모가 $\displaystyle 48$ 이라 계산이 지저분한 문항이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 26번

8번10점수학Ⅱ · 정적분, 정적분과 미분의 관계

함수 $\displaystyle f$ 와 $\displaystyle F$ 가 다음과 같이 정의되어 있다. 이때 아래 물음에 답하시오. (10점)

(가) $\displaystyle f(x)=3x^{2}-2x+1$

(나) $\displaystyle F(x)=\displaystyle\int_1^x f(t)dt$

① $\displaystyle F(1)$ 의 값을 구하시오.

② $\displaystyle F'(2)$ 의 값을 구하시오.

③ $\displaystyle F(2)$ 의 값을 구하시오.

④ $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx$ 의 값을 구하시오.

⑤ $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 x f'(x)dx$ 의 값을 구하시오.

⑥ $\displaystyle F$ 가 극값을 갖지 않는 이유를 한 문장으로 쓰시오.

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · ① $\displaystyle 0$ ② $\displaystyle 9$ ③ $\displaystyle 5$ ④ $\displaystyle 4$ ⑤ $\displaystyle 12$ ⑥ $\displaystyle F'(x)=f(x)>0$ 이어서 항상 증가하기 때문

해설

1.① 적분 구간의 양 끝이 같으므로 $\displaystyle F(1)=\displaystyle\int_1^1 f(t)dt=0$ 이다.
2.② 정적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle F'(x)=f(x)$ 이므로 $\displaystyle F'(2)=f(2)=12-4+1=9$ 이다.
3.③ $\displaystyle F(x)=\left[t^{3}-t^{2}+t\right]_1^x=\left(x^{3}-x^{2}+x\right)-1$ 이므로 $\displaystyle F(2)=(8-4+2)-1=5$ 이다.
4.④ $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3x^{2}-2x+1\right)dx=\left[x^{3}-x^{2}+x\right]_{-1}^{1}=(1-1+1)-(-1-1-1)=1+3=4$
5.④ 우함수·기함수로 나누어 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3x^{2}+1\right)dx=2\displaystyle\int_0^1\left(3x^{2}+1\right)dx=2\times 2=4$ , $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}(-2x)dx=0$ 으로도 같은 값을 얻는다.
6.⑤ $\displaystyle f'(x)=6x-2$ 이므로 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 x(6x-2)dx=\displaystyle\int_0^2\left(6x^{2}-2x\right)dx=\left[2x^{3}-x^{2}\right]_0^2=16-4=12$
7.⑥ $\displaystyle F'(x)=f(x)=3x^{2}-2x+1$ 의 판별식은 $\displaystyle (-2)^{2}-4\times 3\times 1=-8<0$ 이고 최고차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 $\displaystyle x$ 에서 $\displaystyle f(x)>0$ 이다. 즉 $\displaystyle F$ 는 항상 증가하므로 극값을 갖지 않는다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle 0$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
2	② $\displaystyle 9$ (단답이라 부분점수 없음)	1.5
3	③ $\displaystyle 5$ (단답이라 부분점수 없음)	2
4	④ $\displaystyle 4$ (단답이라 부분점수 없음)	2
5	⑤ $\displaystyle 12$ (단답이라 부분점수 없음)	2
6	⑥ $\displaystyle f(x)>0$ 을 판별식 등으로 근거와 함께 밝힌 경우	1
계		10

실전 조언 · ④는 우함수·기함수로 쪼개면 계산이 절반으로 줄고 검산까지 된다. 기함수의 대칭 구간 적분은 항상 $\displaystyle 0$ 이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 22번

🏫 상명대 예상 논술 2회

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