🏫 상명대 예상 논술 1회

해설

1. 1.$\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^2=4$
2. 2.$\displaystyle \log_3\dfrac{1}{27}=\log_3 3^{-3}=-3$
3. 3.따라서 $\displaystyle 4+(-3)=1$

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해설

1. 1.첫째항을 $\displaystyle a$ , 공비를 $\displaystyle r$ 라 하면 $\displaystyle ar=6$ , $\displaystyle ar^4=48$ 이므로 $\displaystyle r^3=8$ , 즉 $\displaystyle r=2$
2. 2.$\displaystyle a\times 2=6$ 에서 $\displaystyle a=3$
3. 3.$\displaystyle S_6=\dfrac{a(r^6-1)}{r-1}=\dfrac{3(64-1)}{2-1}=3\times 63=189$

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해설

1. 1.$\displaystyle \infty-\infty$ 꼴이므로 유리화한다.
2. 2.$\displaystyle \sqrt{x^2+4x}-x=\dfrac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$
3. 3.분모와 분자를 $\displaystyle x$ 로 나누면 $\displaystyle \dfrac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}$ 이고, $\displaystyle x\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{4}{1+1}=2$

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해설

1. 1.① $\displaystyle a_2=2\times 1+1=3$ , $\displaystyle a_3=2\times 3+1=7$ , $\displaystyle a_4=2\times 7+1=15$
2. 2.② 점화식의 양변에 $\displaystyle 1$ 을 더하면 $\displaystyle a_{n+1}+1=2a_n+2=2(a_n+1)$
3. 3.② $\displaystyle b_n=a_n+1$ 로 놓으면 $\displaystyle b_{n+1}=2b_n$ 이므로 $\displaystyle \{b_n\}$ 은 공비가 $\displaystyle 2$ 인 등비수열이다.
4. 4.② 첫째항은 $\displaystyle b_1=a_1+1=2$ 이므로 $\displaystyle b_n=2\times 2^{n-1}=2^n$
5. 5.② 따라서 $\displaystyle a_n=b_n-1=2^n-1$

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해설

1. 1.① $\displaystyle f(6)=\log_3(6+k)=2$ 이므로 $\displaystyle 6+k=3^2=9$ , 즉 $\displaystyle k=3$
2. 2.② $\displaystyle f(x)=\log_3(x+3)$ 이다. $\displaystyle y=\log_3(x+3)$ 으로 놓고 $\displaystyle x$ 에 대하여 푼다.
3. 3.② 로그의 정의에 의하여 $\displaystyle x+3=3^y$ 이므로 $\displaystyle x=3^y-3$
4. 4.② $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 바꾸면 $\displaystyle f^{-1}(x)=3^x-3$
5. 5.② 따라서 $\displaystyle f^{-1}(3)=3^3-3=27-3=24$

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해설

1. 1.$\displaystyle \sin^2 x=1-\cos^2 x$ 를 대입하면 $\displaystyle 2(1-\cos^2 x)-3\cos x=0$
2. 2.$\displaystyle -2\cos^2 x-3\cos x+2=0$ , 즉 $\displaystyle 2\cos^2 x+3\cos x-2=0$
3. 3.$\displaystyle (2\cos x-1)(\cos x+2)=0$ 이고 $\displaystyle -1\le\cos x\le 1$ 이므로 $\displaystyle \cos x+2\ne 0$ , 따라서 $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$
4. 4.$\displaystyle 0\le x<2\pi$ 에서 $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$ 과 $\displaystyle \dfrac{5\pi}{3}$ 이다.
5. 5.두 근의 합은 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{6\pi}{3}=2\pi$

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해설

1. 1.① $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능하므로 좌미분계수와 우미분계수가 같다. $\displaystyle x<1$ 에서 $\displaystyle f'(x)=2x$ , $\displaystyle x>1$ 에서 $\displaystyle f'(x)=a$ 이므로 $\displaystyle 2\times 1=a$ , 즉 $\displaystyle a=2$
2. 2.② 미분가능하면 연속이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1+}f(x)=f(1)$ 이어야 한다.
3. 3.② $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1-}f(x)=f(1)=1^2=1$ 이고 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1+}f(x)=a+b$ 이므로 $\displaystyle a+b=1$
4. 4.② ①에서 $\displaystyle a=2$ 이므로 $\displaystyle 2+b=1$ , 즉 $\displaystyle b=-1$

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해설

1. 1.$\displaystyle x^2-x=x(x-1)$ 이므로 $\displaystyle 0<x<1$ 에서 음수, $\displaystyle 1<x<2$ 에서 양수이다.
2. 2.따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2|x^2-x|\,dx=\int_0^1(x-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-x)\,dx$
3. 3.$\displaystyle \displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_1^2(x^2-x)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right]_1^2=\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$
5. 5.따라서 $\displaystyle \dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1$

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