🏫 상명대 예상 논술 1회

해설

1. 1.① $\displaystyle 2^a=6$ 에서 $\displaystyle a=\log_2 6$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{1}{a}=\log_6 2$ 이고, $\displaystyle 3^b=6$ 에서 $\displaystyle b=\log_3 6$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{1}{b}=\log_6 3$ 이다. 따라서 $\displaystyle \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\log_6 2+\log_6 3=\log_6 6=1$
2. 2.② 같은 방법으로 $\displaystyle \dfrac{1}{p}=\log_{36}2$ , $\displaystyle \dfrac{1}{q}=\log_{36}3$ 이므로 합은 $\displaystyle \log_{36}6$ 이다. $\displaystyle 36=6^2$ 이므로 $\displaystyle \log_{36}6=\dfrac{1}{2}$
3. 3.③ $\displaystyle a=\log_2 6=\log_2 2+\log_2 3=1+L$ 이고 $\displaystyle b=\log_3 6=\log_3 3+\log_3 2=1+\dfrac{1}{L}=\dfrac{L+1}{L}$ 이다.
4. 4.③ 따라서 $\displaystyle ab=(1+L)\times\dfrac{L+1}{L}=\dfrac{(L+1)^2}{L}$
5. 5.④ ①에서 $\displaystyle \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}=1$ 이므로 $\displaystyle a+b=ab$ 이고, 따라서 $\displaystyle a+b-ab=0$
6. 6.⑤ ①과 ②의 값을 더하면 $\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$

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해설

1. 1.① $\displaystyle a_7-a_3=4d$ 이므로 $\displaystyle 25-13=4d$ , 즉 $\displaystyle d=3$
2. 2.② $\displaystyle a_3=a_1+2d$ 에서 $\displaystyle 13=a_1+6$ 이므로 $\displaystyle a_1=7$ 이고, $\displaystyle a_{10}=a_1+9d=7+27=34$
3. 3.③ $\displaystyle b_1=a_1=7$ 이고 $\displaystyle b_3=a_{10}-6=28$ 이다. 등비수열이므로 $\displaystyle b_3=b_1r^2$ , 즉 $\displaystyle 28=7r^2$ 에서 $\displaystyle r^2=4$ 이다. 모든 항이 양수이므로 $\displaystyle r=2$
4. 4.④ $\displaystyle S_n=\dfrac{n\left\{2a_1+(n-1)d\right\}}{2}=\dfrac{n(14+3n-3)}{2}=\dfrac{n(3n+11)}{2}$
5. 5.④ $\displaystyle n=12$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{12\times 47}{2}=282<300$ 이고, $\displaystyle n=13$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{13\times 50}{2}=325>300$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle 13$ 이다.
6. 6.⑤ $\displaystyle b_5=b_1r^4=7\times 2^4=7\times 16=112$

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해설

1. 1.① $\displaystyle x=3$ 에서 연속이려면 극한값이 존재해야 한다. 분모 $\displaystyle \to 0$ 이므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 하고, 따라서 $\displaystyle \sqrt{3+a}=b$ 이다.
2. 2.① 분자를 유리화하면 $\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+a)-b^2}{(x-3)\left(\sqrt{x+a}+b\right)}$ 이고 $\displaystyle b^2=3+a$ 이므로 분자가 $\displaystyle x-3$ 이 된다. 즉 $\displaystyle x\ne 3$ 에서 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+a}+b}$ 이다.
3. 3.① $\displaystyle \lim\limits_{x\to 3}f(x)=\dfrac{1}{b+b}=\dfrac{1}{2b}$ 이고 이것이 $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ 이므로 $\displaystyle b=2$
4. 4.② $\displaystyle b^2=3+a$ 에서 $\displaystyle 4=3+a$ , 즉 $\displaystyle a=1$ 이고 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 가 모두 양수라는 조건에 맞다.
5. 5.③ $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}$ 이므로 $\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{f(x)}=\sqrt{x+1}+2$
6. 6.④ $\displaystyle g(8)=\sqrt{9}+2=3+2=5$
7. 7.⑤ $\displaystyle \lim\limits_{x\to 3}g(x)=\sqrt{4}+2=4$ 이고 $\displaystyle \dfrac{1}{f(3)}=\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4$ 로 같다. $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=3$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(3)\ne 0$ 이므로 당연하다.

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해설

1. 1.① $\displaystyle a_2=\dfrac{2\times 2}{2+2}=1$ , $\displaystyle a_3=\dfrac{2\times 1}{1+2}=\dfrac{2}{3}$ , $\displaystyle a_4=\dfrac{2\times\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+2}=\dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}}=\dfrac{1}{2}$
2. 2.② $\displaystyle a_1=2>0$ 이고 $\displaystyle a_n>0$ 이면 $\displaystyle a_{n+1}>0$ 이므로 모든 항이 양수이고 역수를 취할 수 있다.
3. 3.② 양변의 역수를 취하면 $\displaystyle \dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{a_n+2}{2a_n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{a_n}$
4. 4.② $\displaystyle b_n=\dfrac{1}{a_n}$ 으로 놓으면 $\displaystyle b_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle \{b_n\}$ 은 공차가 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ 인 등차수열이다.
5. 5.② 첫째항이 $\displaystyle b_1=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle b_n=\dfrac{1}{2}+(n-1)\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{n}{2}$ 이고, 따라서 $\displaystyle a_n=\dfrac{2}{n}$ 이다. $\displaystyle n=4$ 를 넣으면 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ 로 ①과 일치한다.
6. 6.③ $\displaystyle \dfrac{1}{a_k}=b_k=\dfrac{k}{2}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{1}{a_k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{10}k=\dfrac{1}{2}\times 55=\dfrac{55}{2}$

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해설

1. 1.① $\displaystyle f(1)=\log_2(1+k)=2$ 이므로 $\displaystyle 1+k=2^2=4$ , 즉 $\displaystyle k=3$
2. 2.② $\displaystyle k=3$ 이므로 $\displaystyle f(x)=\log_2(x+3)$ , $\displaystyle g(x)=2^{x}-3$ 이다.
3. 3.② $\displaystyle y=\log_2(x+3)$ 에서 $\displaystyle x+3=2^{y}$ , 즉 $\displaystyle x=2^{y}-3$ 이다. $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 바꾸면 $\displaystyle y=2^{x}-3=g(x)$ 이므로 $\displaystyle g$ 는 $\displaystyle f$ 의 역함수이다.
4. 4.② 따라서 $\displaystyle f$ 의 정의역 $\displaystyle x>-3$ 에서 $\displaystyle (g\circ f)(x)=x$ 가 성립하고, $\displaystyle 5>-3$ 이므로 $\displaystyle (g\circ f)(5)=5$ 이다.
5. 5.② 직접 확인하면 $\displaystyle f(5)=\log_2 8=3$ 이고 $\displaystyle g(3)=2^3-3=5$ 로 일치한다.
6. 6.③ $\displaystyle h(0)=f(0)+g(0)=\log_2 3+\left(2^0-3\right)=\log_2 3+1-3=\log_2 3-2$

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해설

1. 1.① $\displaystyle \cos^2 x=1-\sin^2 x$ 를 대입하면 $\displaystyle 2\left(1-\sin^2 x\right)+\sin x-2=0$ , 즉 $\displaystyle -2\sin^2 x+\sin x=0$ 이다.
2. 2.① $\displaystyle \sin x=s$ 로 놓으면 $\displaystyle s(1-2s)=0$ 이므로 $\displaystyle s=0$ 또는 $\displaystyle s=\dfrac{1}{2}$ 이고, 둘 다 $\displaystyle -1\le s\le 1$ 을 만족시킨다.
3. 3.② $\displaystyle 0\le x<2\pi$ 에서 $\displaystyle \sin x=0$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle 0$ 과 $\displaystyle \pi$ 이고, $\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{2}$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}$ 과 $\displaystyle \dfrac{5\pi}{6}$ 이다. 따라서 해는 네 개다.
4. 4.③ 네 해를 작은 것부터 나열하면 $\displaystyle \alpha_1=0$ , $\displaystyle \alpha_2=\dfrac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \alpha_3=\dfrac{5\pi}{6}$ , $\displaystyle \alpha_4=\pi$ 이므로 $\displaystyle \alpha_3=\dfrac{5\pi}{6}$
5. 5.④ 합은 $\displaystyle 0+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\pi=\pi+\pi=2\pi$
6. 6.⑤ $\displaystyle \alpha_4-\alpha_1=\pi-0=\pi$

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해설

1. 1.① $\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+b$ 이고 $\displaystyle -1$ , $\displaystyle 3$ 이 $\displaystyle f'(x)=0$ 의 두 근이므로 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle -1+3=-\dfrac{2a}{3}$ , $\displaystyle (-1)\times 3=\dfrac{b}{3}$ 이다. 따라서 $\displaystyle a=-3$ , $\displaystyle b=-9$
2. 2.② (나)에서 $\displaystyle f(0)=c=5$ 이므로 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ 이다.
3. 3.② $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle x<-1$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle -1<x<3$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle x>3$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이다. 따라서 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
4. 4.② 극댓값은 $\displaystyle f(-1)=-1-3+9+5=10$ , 극솟값은 $\displaystyle f(3)=27-27-27+5=-22$
5. 5.③ 극댓값 $\displaystyle 10$ 은 양수, 극솟값 $\displaystyle -22$ 는 음수이므로 (극댓값)×(극솟값)$\displaystyle <0$ 이다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x$ 축과 서로 다른 세 점에서 만나고 $\displaystyle N=3$ 이다.
6. 6.④ 극댓값과 극솟값의 차는 $\displaystyle 10-(-22)=32$

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해설

1. 1.① $\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(3x^2+2ax\right)dx=\left[x^3+ax^2\right]_0^2=8+4a$ 이고 이것이 $\displaystyle 12$ 이므로 $\displaystyle a=1$
2. 2.② 따라서 $\displaystyle f(x)=3x^2+2x$
3. 3.③ 적분 구간이 원점에 대하여 대칭이다. $\displaystyle 2x$ 는 기함수이므로 정적분이 $\displaystyle 0$ 이고, $\displaystyle 3x^2$ 은 우함수이므로 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}3x^2\,dx=2\displaystyle\int_0^1 3x^2\,dx=2$ 이다. 따라서 값은 $\displaystyle 2$ 이다.
4. 4.④ $\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(3x^2+2x\right)dx=\left[x^3+x^2\right]_0^1=1+1=2$
5. 5.⑤ $\displaystyle f(x)=x(3x+2)$ 이므로 $\displaystyle -1<x<-\dfrac{2}{3}$ 에서 양수, $\displaystyle -\dfrac{2}{3}<x<0$ 에서 음수, $\displaystyle 0<x<1$ 에서 양수이다.
6. 6.⑤ $\displaystyle F(x)=x^3+x^2$ 이라 하면 $\displaystyle F(-1)=0$ , $\displaystyle F\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{8}{27}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{27}$ , $\displaystyle F(0)=0$ , $\displaystyle F(1)=2$ 이다.
7. 7.⑤ 따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}|f|\,dx=\dfrac{4}{27}+\dfrac{4}{27}+2=\dfrac{8}{27}+2=\dfrac{62}{27}$

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