🏫 상명대 예상 논술 4회

지능·데이터융합학부 휴먼AI공학전공 (자연A)

문항

8문항

배점

80점

시간

60분

출제 범위

수학Ⅰ · 수학Ⅱ

채점은 이렇게 된다

· ️ 수학 단답 하위문항은 **부분점수가 없다**. 채점표가 최종 값 한 줄로 끝난다 — 계산 실수 하나로 그 하위문항 배점(4.7~5.3점) 전액이 날아간다
· 반대로 '과정을 서술하시오' 하위문항은 0.6~2.0점 단위로 잘게 부분점수가 붙는다. 수학 100점 중 16~18점이 이 구간이다

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1번10점수학Ⅰ · 지수와 로그

$\displaystyle 2^{\log_2 7}+\log_3 27$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · $\displaystyle 10$

해설

1.로그의 정의에 의하여 $\displaystyle a^{\log_a b}=b$ 이므로 $\displaystyle 2^{\log_2 7}=7$
2. $\displaystyle \log_3 27=\log_3 3^3=3$
3.따라서 $\displaystyle 7+3=10$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle 10$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · $\displaystyle a^{\log_a b}=b$ 는 "로그는 지수"라는 정의 그 자체다. 외워서 바로 쓴다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 23번

2번10점수학Ⅰ · 수열의 합

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{6}(3k-1)$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · $\displaystyle 57$

해설

1. $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{6}(3k-1)=3\sum\limits_{k=1}^{6}k-\sum\limits_{k=1}^{6}1$
2. $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{6}k=\dfrac{6\times 7}{2}=21$ , $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{6}1=6$
3.따라서 $\displaystyle 3\times 21-6=63-6=57$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle 57$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · 항이 여섯 개뿐이라 직접 더해도 된다. $\displaystyle 2+5+8+11+14+17=57$ — 검산으로 쓴다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적귀납법 5번

3번10점수학Ⅱ · 접선의 기울기

곡선 $\displaystyle y=x^3-2x$ 위의 점 $\displaystyle (1,\,-1)$ 에서의 접선의 기울기를 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · $\displaystyle 1$

해설

1.접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수와 같다.
2. $\displaystyle y'=3x^2-2$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서의 미분계수는 $\displaystyle 3\times 1-2=1$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle 1$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · 점 $\displaystyle (1,\,-1)$ 이 곡선 위에 있는지 먼저 확인한다. $\displaystyle 1-2=-1$ 이므로 맞다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 5번

4번10점수학Ⅰ · 삼각함수의 그래프

함수 $\displaystyle f(x)=2\sin\dfrac{x}{2}+1$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

① 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 주기를 구하시오. (답만 쓰시오.)

② 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

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정답 · ① $\displaystyle 4\pi$ ② $\displaystyle 2$

해설

1.① $\displaystyle y=a\sin(bx)+c$ 의 주기는 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{|b|}$ 이고 $\displaystyle b=\dfrac{1}{2}$ 이므로 주기는 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi$
2.② $\displaystyle -1\le\sin\dfrac{x}{2}\le 1$ 이므로 $\displaystyle -2\le 2\sin\dfrac{x}{2}\le 2$
3.② 양변에 $\displaystyle 1$ 을 더하면 $\displaystyle -1\le f(x)\le 3$ 이다.
4.② 따라서 최댓값은 $\displaystyle 3$ , 최솟값은 $\displaystyle -1$ 이고 그 합은 $\displaystyle 3+(-1)=2$

채점 포인트

1	① $\displaystyle 4\pi$ (단답이라 부분점수 없음)	5
2	② $\displaystyle \sin$ 의 값의 범위에서 출발한 경우	1.5
3	② $\displaystyle -1\le f(x)\le 3$ 을 구한 경우	2
4	② 최댓값 $\displaystyle 3$ , 최솟값 $\displaystyle -1$ 과 합 $\displaystyle 2$	1.5
계		10

실전 조언 · 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle 2c$ 다. 여기서는 $\displaystyle c=1$ 이므로 $\displaystyle 2$ — 이 성질로 검산한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수 16번

5번10점수학Ⅰ · 로그방정식

방정식 $\displaystyle \log_3 x+\log_3(x-2)=1$ 을 생각하자.

① 로그가 정의되기 위한 $\displaystyle x$ 의 조건을 구하시오. (답만 쓰시오.)

② 방정식의 해를 구하는 과정을 서술하시오.

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정답 · ① $\displaystyle x>2$ ② $\displaystyle x=3$

해설

1.① 두 진수가 모두 양수여야 하므로 $\displaystyle x>0$ 이고 $\displaystyle x-2>0$ , 즉 $\displaystyle x>2$
2.② 로그의 합을 하나로 묶으면 $\displaystyle \log_3\{x(x-2)\}=1$
3.② 로그의 정의에 의하여 $\displaystyle x(x-2)=3^1=3$ , 즉 $\displaystyle x^2-2x-3=0$
4.② $\displaystyle (x-3)(x+1)=0$ 에서 $\displaystyle x=3$ 또는 $\displaystyle x=-1$
5.② ①의 조건 $\displaystyle x>2$ 를 만족시키는 것은 $\displaystyle x=3$ 뿐이므로 해는 $\displaystyle x=3$ 이다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle x>2$ (단답이라 부분점수 없음)	5
2	② 로그의 합을 하나로 묶은 경우	1.5
3	② $\displaystyle x^2-2x-3=0$ 을 세운 경우	1.5
4	② 두 근 $\displaystyle 3$ , $\displaystyle -1$ 을 구한 경우	1
5	② 진수 조건으로 $\displaystyle x=-1$ 을 버리고 $\displaystyle x=3$ 을 택한 경우	1
계		10

실전 조언 · 근을 버리는 근거를 쓰는 줄에 점수가 있다. "①에 의하여 $\displaystyle x=-1$ 은 부적합" 이라고 명시한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 23번

6번10점수학Ⅰ · 지수

$\displaystyle 9^{x}=4$ 일 때, $\displaystyle 3^{x}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 3^x>0$ 이다.) (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · $\displaystyle 2$

해설

1. $\displaystyle 9=3^2$ 이므로 $\displaystyle 9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2$
2.따라서 $\displaystyle (3^x)^2=4$ 이고 $\displaystyle 3^x>0$ 이므로 $\displaystyle 3^x=2$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle 2$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · 지수함수의 값은 항상 양수다. $\displaystyle 3^x=-2$ 는 애초에 불가능하다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 15번

7번10점수학Ⅱ · 정적분

양수 $\displaystyle a$ 가 $\displaystyle \displaystyle\int_0^a(2x+1)\,dx=6$ 을 만족시킨다.

① $\displaystyle a$ 에 대한 방정식을 세우시오. (답만 쓰시오.)

② $\displaystyle a$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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정답 · ① $\displaystyle a^2+a=6$ ② $\displaystyle a=2$

해설

1.① $\displaystyle \displaystyle\int_0^a(2x+1)\,dx=\left[x^2+x\right]_0^a=a^2+a$ 이므로 방정식은 $\displaystyle a^2+a=6$
2.② $\displaystyle a^2+a-6=0$ 에서 $\displaystyle (a+3)(a-2)=0$ 이므로 $\displaystyle a=-3$ 또는 $\displaystyle a=2$
3.② 조건에서 $\displaystyle a$ 는 양수이므로 $\displaystyle a=-3$ 은 버린다.
4.② 따라서 $\displaystyle a=2$ 이다. 검산하면 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(2x+1)dx=4+2=6$ 으로 맞다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle a^2+a=6$ (단답이라 부분점수 없음)	5
2	② 이차방정식을 인수분해한 경우	1.5
3	② $\displaystyle a>0$ 조건으로 $\displaystyle a=-3$ 을 버린 경우	2
4	② 최종 답 $\displaystyle a=2$ (또는 검산까지 한 경우)	1.5
계		10

실전 조언 · 근을 버리는 근거가 2점이다. " $\displaystyle a$ 는 양수이므로" 한 줄을 반드시 쓴다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 13번

8번10점수학Ⅱ · 함수의 극한

$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^3-3x+2}{(x-1)^2}$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · $\displaystyle 3$

해설

1.분자에 $\displaystyle x=1$ 을 대입하면 $\displaystyle 1-3+2=0$ 이므로 $\displaystyle x-1$ 을 인수로 가진다.
2.조립제법으로 나누면 $\displaystyle x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2)$
3. $\displaystyle x\ne 1$ 이므로 $\displaystyle (x-1)^2$ 으로 약분하면 $\displaystyle x+2$
4.따라서 극한값은 $\displaystyle 1+2=3$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle 3$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · 분모가 $\displaystyle (x-1)^2$ 이므로 분자도 $\displaystyle x-1$ 을 두 번 가져야 극한이 존재한다. 한 번만 나누고 멈추면 막힌다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 19번