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🏫 상명대 예상 논술 3회

지능·데이터융합학부 휴먼AI공학전공 (자연A)

문항

8문항

배점

80점

시간

60분

출제 범위

수학Ⅰ · 수학Ⅱ

채점은 이렇게 된다

  • · ️ 수학 단답 하위문항은 **부분점수가 없다**. 채점표가 최종 값 한 줄로 끝난다 — 계산 실수 하나로 그 하위문항 배점(4.7~5.3점) 전액이 날아간다
  • · 반대로 '과정을 서술하시오' 하위문항은 0.6~2.0점 단위로 잘게 부분점수가 붙는다. 수학 100점 중 16~18점이 이 구간이다

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1번10점수학Ⅰ · 지수와 로그

432−log⁡5125\displaystyle 4^{\frac{3}{2}}-\log_5 125 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · 5\displaystyle 5

해설

  1. 1.432=(22)32=23=8\displaystyle 4^{\frac{3}{2}}=(2^2)^{\frac{3}{2}}=2^3=8
  2. 2.log⁡5125=log⁡553=3\displaystyle \log_5 125=\log_5 5^3=3
  3. 3.따라서 8−3=5\displaystyle 8-3=5

채점 포인트

1최종 값 5\displaystyle 5 (단답 문항이라 부분점수가 없다)10
계10

실전 조언 · 432\displaystyle 4^{\frac{3}{2}} 은 "4\displaystyle 4 의 세제곱의 제곱근"이므로 64=8\displaystyle \sqrt{64}=8 로 봐도 같다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 11번

2번10점수학Ⅰ · 삼각함수

sin⁡5π6+cos⁡4π3\displaystyle \sin\dfrac{5\pi}{6}+\cos\dfrac{4\pi}{3} 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · 0\displaystyle 0

해설

  1. 1.5π6\displaystyle \dfrac{5\pi}{6} 은 제2사분면의 각이고 sin⁡5π6=sin⁡(π−π6)=sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}
  2. 2.4π3\displaystyle \dfrac{4\pi}{3} 은 제3사분면의 각이고 cos⁡4π3=cos⁡(π+π3)=−cos⁡π3=−12\displaystyle \cos\dfrac{4\pi}{3}=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}
  3. 3.따라서 12+(−12)=0\displaystyle \dfrac{1}{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0

채점 포인트

1최종 값 0\displaystyle 0 (단답 문항이라 부분점수가 없다)10
계10

실전 조언 · 사분면을 먼저 정하고 부호를 붙인다. 제2사분면은 sin⁡\displaystyle \sin 만 양수, 제3사분면은 tan⁡\displaystyle \tan 만 양수다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수 4번

3번10점수학Ⅱ · 정적분

∫03(2x−1) dx\displaystyle \displaystyle\int_0^3(2x-1)\,dx 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · 6\displaystyle 6

해설

  1. 1.2x−1\displaystyle 2x-1 의 부정적분 중 하나는 x2−x\displaystyle x^2-x 이다.
  2. 2.∫03(2x−1) dx=[x2−x]03=(9−3)−0=6\displaystyle \displaystyle\int_0^3(2x-1)\,dx=\left[x^2-x\right]_0^3=(9-3)-0=6

채점 포인트

1최종 값 6\displaystyle 6 (단답 문항이라 부분점수가 없다)10
계10

실전 조언 · 일차함수의 정적분은 사다리꼴 넓이로도 검산된다. y=2x−1\displaystyle y=2x-1 은 x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} 에서 부호가 바뀌므로 부호를 따지면 −14+254=6\displaystyle -\dfrac{1}{4}+\dfrac{25}{4}=6.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 2번

4번10점수학Ⅰ · 수열

수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 이 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 ∑k=1nak=2n−1\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_k=2^n-1 을 만족시킨다.

① a1\displaystyle a_1 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.)

② 일반항 an\displaystyle a_n 을 구하는 과정을 서술하시오.

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정답 · ① 1\displaystyle 1 ② an=2n−1\displaystyle a_n=2^{n-1}

해설

  1. 1.① Sn=2n−1\displaystyle S_n=2^n-1 이라 하면 a1=S1=21−1=1\displaystyle a_1=S_1=2^1-1=1
  2. 2.② n≥2\displaystyle n\ge 2 일 때 an=Sn−Sn−1=(2n−1)−(2n−1−1)=2n−2n−1\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}
  3. 3.② 2n−2n−1=2n−1(2−1)=2n−1\displaystyle 2^n-2^{n-1}=2^{n-1}(2-1)=2^{n-1}
  4. 4.② n=1\displaystyle n=1 일 때도 21−1=20=1=a1\displaystyle 2^{1-1}=2^0=1=a_1 로 일치한다.
  5. 5.② 따라서 모든 자연수 n\displaystyle n 에 대하여 an=2n−1\displaystyle a_n=2^{n-1}

채점 포인트

1① a1=1\displaystyle a_1=1 (단답이라 부분점수 없음)5
2② n≥2\displaystyle n\ge 2 에서 an=Sn−Sn−1\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1} 을 쓴 경우1.5
3② 2n−2n−1=2n−1\displaystyle 2^n-2^{n-1}=2^{n-1} 로 정리한 경우1.5
4② n=1\displaystyle n=1 에서도 성립함을 확인한 경우1
5② 최종 답 an=2n−1\displaystyle a_n=2^{n-1}1
계10

실전 조언 · an=Sn−Sn−1\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1} 은 n≥2\displaystyle n\ge 2 용이다. n=1\displaystyle n=1 을 따로 확인하는 줄이 1점이지만, 안 쓰면 논리가 비어 있다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적귀납법 21번

5번10점수학Ⅰ · 로그부등식

부등식 log⁡2(x−1)<3\displaystyle \log_2(x-1)<3 을 생각하자.

① 로그가 정의되기 위한 x\displaystyle x 의 조건을 구하시오. (답만 쓰시오.)

② 부등식의 해를 구하는 과정을 서술하시오.

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정답 · ① x>1\displaystyle x>1 ② 1<x<9\displaystyle 1<x<9

해설

  1. 1.① 로그의 진수는 양수여야 하므로 x−1>0\displaystyle x-1>0 , 즉 x>1\displaystyle x>1
  2. 2.② 3=log⁡28\displaystyle 3=\log_2 8 이므로 주어진 부등식은 log⁡2(x−1)<log⁡28\displaystyle \log_2(x-1)<\log_2 8
  3. 3.② 밑 2\displaystyle 2 가 1\displaystyle 1 보다 크므로 진수의 대소가 그대로 유지된다. 즉 x−1<8\displaystyle x-1<8 , x<9\displaystyle x<9
  4. 4.② ①의 조건 x>1\displaystyle x>1 과의 공통 범위를 구하면 1<x<9\displaystyle 1<x<9

채점 포인트

1① x>1\displaystyle x>1 (단답이라 부분점수 없음)5
2② 3=log⁡28\displaystyle 3=\log_2 8 로 고쳐 양변을 로그로 맞춘 경우1.5
3② 밑이 1\displaystyle 1 보다 커서 부등호가 유지됨을 밝히고 x<9\displaystyle x<9 를 구한 경우2
4② 진수 조건과의 공통 범위 1<x<9\displaystyle 1<x<9 를 구한 경우1.5
계10

실전 조언 · 진수 조건을 빼먹으면 x<9\displaystyle x<9 만 답이 되어 틀린다. ①이 별도 하위문항으로 나온 것이 곧 힌트다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 26번

6번10점수학Ⅰ · 등비수열

첫째항이 4\displaystyle 4 , 공비가 12\displaystyle \dfrac{1}{2} 인 등비수열의 첫째항부터 제 5\displaystyle 5 항까지의 합을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · 314\displaystyle \dfrac{31}{4}

해설

  1. 1.등비수열의 합은 Sn=a(1−rn)1−r\displaystyle S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} 이다.
  2. 2.S5=4{1−(12)5}1−12=4(1−132)12=8×3132=314\displaystyle S_5=\dfrac{4\left\{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^5\right\}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{4\left(1-\dfrac{1}{32}\right)}{\dfrac{1}{2}}=8\times\dfrac{31}{32}=\dfrac{31}{4}

채점 포인트

1최종 값 314\displaystyle \dfrac{31}{4} (단답 문항이라 부분점수가 없다)10
계10

실전 조언 · 직접 더해도 된다. 4+2+1+12+14=16+8+4+2+14=314\displaystyle 4+2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{16+8+4+2+1}{4}=\dfrac{31}{4} — 이쪽이 검산으로 더 빠르다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 26번

7번10점수학Ⅱ · 접선의 방정식

곡선 y=x2−4x+5\displaystyle y=x^2-4x+5 위의 점에서의 접선이 직선 y=2x\displaystyle y=2x 와 평행하다.

① 그 접점의 x\displaystyle x 좌표를 구하시오. (답만 쓰시오.)

② 그 접선의 방정식을 구하는 과정을 서술하시오.

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정답 · ① x=3\displaystyle x=3 ② y=2x−4\displaystyle y=2x-4

해설

  1. 1.① 평행하면 기울기가 같다. y′=2x−4\displaystyle y'=2x-4 이므로 2x−4=2\displaystyle 2x-4=2 에서 x=3\displaystyle x=3
  2. 2.② 접점의 y\displaystyle y 좌표는 y=32−4×3+5=9−12+5=2\displaystyle y=3^2-4\times 3+5=9-12+5=2 이므로 접점은 (3, 2)\displaystyle (3,\,2) 이다.
  3. 3.② 기울기가 2\displaystyle 2 이고 점 (3, 2)\displaystyle (3,\,2) 를 지나는 직선의 방정식은 y−2=2(x−3)\displaystyle y-2=2(x-3)
  4. 4.② 정리하면 y=2x−4\displaystyle y=2x-4

채점 포인트

1① x=3\displaystyle x=3 (단답이라 부분점수 없음)5
2② 접점의 y\displaystyle y 좌표 2\displaystyle 2 를 구한 경우2
3② 점과 기울기로 직선의 방정식을 세운 경우2
4② 최종 답 y=2x−4\displaystyle y=2x-41
계10

실전 조언 · 접점의 y\displaystyle y 좌표를 구할 때는 접선이 아니라 원래 곡선에 대입한다. 이걸 바꿔 쓰는 실수가 흔하다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 6번

8번10점수학Ⅱ · 함수의 극한

lim⁡x→0xx+4−2\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sqrt{x+4}-2} 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · 4\displaystyle 4

해설

  1. 1.분모에 무리식이 있으므로 분모와 분자에 x+4+2\displaystyle \sqrt{x+4}+2 를 곱한다.
  2. 2.x(x+4+2)(x+4)−4=x(x+4+2)x\displaystyle \dfrac{x(\sqrt{x+4}+2)}{(x+4)-4}=\dfrac{x(\sqrt{x+4}+2)}{x}
  3. 3.x≠0\displaystyle x\ne 0 이므로 약분하면 x+4+2\displaystyle \sqrt{x+4}+2
  4. 4.따라서 극한값은 4+2=2+2=4\displaystyle \sqrt{4}+2=2+2=4

채점 포인트

1최종 값 4\displaystyle 4 (단답 문항이라 부분점수가 없다)10
계10

실전 조언 · 분모가  −2\displaystyle \sqrt{\ }-2 꼴이면 켤레는  +2\displaystyle \sqrt{\ }+2 다. 부호를 반대로 쓰면 유리화가 안 된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 8번