🛠️ 한기대 예상 논술 3회

해설

1. 1.$\displaystyle 16=2^{4}$ 이므로 $\displaystyle \sqrt[3]{16}=\left(2^{4}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{4}{3}}$ 이다.
2. 2.지수법칙에 의하여 $\displaystyle 2^{\frac{4}{3}}\times 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}=2^{2}$ 이다.
3. 3.따라서 값은 $\displaystyle 4$ 이다.

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해설

1. 1.진수가 양수여야 하므로 $\displaystyle x>0$ 이고 $\displaystyle x-2>0$ , 즉 $\displaystyle x>2$ 이다.
2. 2.로그의 성질에 의하여 $\displaystyle \log_2\{x(x-2)\}=3$ 이므로 $\displaystyle x(x-2)=2^{3}=8$ 이다.
3. 3.$\displaystyle x^{2}-2x-8=(x-4)(x+2)=0$ 에서 $\displaystyle x=4$ 또는 $\displaystyle x=-2$ 이고, 진수조건 $\displaystyle x>2$ 에 의하여 $\displaystyle x=4$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle x\to 2$ 에서 분모가 $\displaystyle 0$ 으로 가고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle 4+2a+b=0$ 이다.
2. 2.(1) 분자는 $\displaystyle x-2$ 를 인수로 가지므로 $\displaystyle x^{2}+ax+b=(x-2)(x-c)$ 로 쓸 수 있고, $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}(x-c)=2-c=7$ 에서 $\displaystyle c=-5$ 이다.
3. 3.(1) 따라서 $\displaystyle x^{2}+ax+b=(x-2)(x+5)=x^{2}+3x-10$ 이므로 $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle b=-10$ 이다.
4. 4.(2) $\displaystyle \dfrac{x^{2}+3x-10}{x+5}=\dfrac{(x-2)(x+5)}{x+5}=x-2$ 이므로 $\displaystyle x\to-5$ 에서 극한값은 $\displaystyle -5-2=-7$ 이다.

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해설

1. 1.(1) 사인법칙에서 $\displaystyle \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ 이므로 $\displaystyle b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{6\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{6}$ 이다.
2. 2.(1) 또 $\displaystyle \dfrac{a}{\sin A}=2R$ 이므로 $\displaystyle 2R=\dfrac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$ , 즉 $\displaystyle R=2\sqrt{3}$ 이다.
3. 3.(2) 삼각형의 내각의 합은 $\displaystyle \pi$ 이므로 $\displaystyle C=\pi-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$ 이다.
4. 4.(2) 분모를 $\displaystyle 12$ 로 통일하면 $\displaystyle C=\dfrac{12\pi-4\pi-3\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{12}$ 이다.

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해설

1. 1.적분 구간이 원점에 대하여 대칭이므로 우함수와 기함수로 나누어 계산한다.
2. 2.첫 식에서 $\displaystyle 3x^{2}+1$ 은 우함수, $\displaystyle 2x$ 는 기함수이다. 기함수의 대칭 구간 정적분은 $\displaystyle 0$ 이다.
3. 3.따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3x^{2}+2x+1\right)dx=2\displaystyle\int_0^1\left(3x^{2}+1\right)dx=2\left[x^{3}+x\right]_0^1=2\times 2=4$ 이다.
4. 4.두 번째 식에서 $\displaystyle x^{3}$ 과 $\displaystyle x$ 는 모두 기함수이므로 합도 기함수이고, 대칭 구간의 정적분은 $\displaystyle 0$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f'(x)=3x^{2}-6x-9=3\left(x^{2}-2x-3\right)=3(x-3)(x+1)$ 이다.
2. 2.(1) $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=3$ 이고 부호가 양 → 음 → 양이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
3. 3.(1) $\displaystyle f(-1)=-1-3+9+1=6$ , $\displaystyle f(3)=27-27-27+1=-26$ 이므로 극댓값은 $\displaystyle 6$ , 극솟값은 $\displaystyle -26$ 이다.
4. 4.(2) 닫힌구간에서의 최대·최소는 구간 안의 극값과 양 끝점의 함숫값을 모두 비교해야 한다.
5. 5.(2) $\displaystyle f(-2)=-8-12+18+1=-1$ , $\displaystyle f(4)=64-48-36+1=-19$ 이다.
6. 6.(2) 네 값 $\displaystyle 6$ , $\displaystyle -26$ , $\displaystyle -1$ , $\displaystyle -19$ 를 비교하면 최댓값은 $\displaystyle 6$ ( $\displaystyle x=-1$ ), 최솟값은 $\displaystyle -26$ ( $\displaystyle x=3$ )이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle x^{3}-4x=x\left(x^{2}-4\right)=x(x-2)(x+2)=0$ 이므로 $\displaystyle x=-2$ , $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=2$ 이다.
2. 2.(2) $\displaystyle y=x^{3}-4x$ 는 기함수이므로 그래프가 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 $\displaystyle x>0$ 쪽 넓이의 $\displaystyle 2$ 배를 구하면 된다.
3. 3.(2) $\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle x^{3}-4x=x\left(x^{2}-4\right)<0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있다.
4. 4.(2) 그 부분의 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(4x-x^{3}\right)dx=\left[2x^{2}-\dfrac{x^{4}}{4}\right]_0^2=8-4=4$ 이다.
5. 5.(2) 대칭이므로 전체 넓이는 $\displaystyle 2\times 4=8$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle x(t)=3+\displaystyle\int_0^t (2s-4)ds=3+\left[s^{2}-4s\right]_0^t=t^{2}-4t+3$
2. 2.(1) $\displaystyle x(t)=0$ 에서 $\displaystyle (t-1)(t-3)=0$ 이므로 $\displaystyle t=1$ 또는 $\displaystyle t=3$ 이고 둘 다 $\displaystyle 0\le t\le 5$ 안에 있다.
3. 3.(2) $\displaystyle v(t)=2t-4=0$ 에서 $\displaystyle t=2$ 이고, $\displaystyle t<2$ 에서 $\displaystyle v<0$ , $\displaystyle t>2$ 에서 $\displaystyle v>0$ 이므로 $\displaystyle t=2$ 에서 운동 방향이 바뀐다.
4. 4.(2) $\displaystyle x(0)=3$ , $\displaystyle x(2)=4-8+3=-1$ , $\displaystyle x(5)=25-20+3=8$ 이다.
5. 5.(2) 움직인 거리는 $\displaystyle |-1-3|+|8-(-1)|=4+9=13$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle a_n=a_1 r^{n-1}=2\times 3^{n-1}$ 이다.
2. 2.(1) 등비수열의 합 공식에서 $\displaystyle S_n=\dfrac{2\left(3^{n}-1\right)}{3-1}=3^{n}-1$ 이다.
3. 3.(2) $\displaystyle \dfrac{a_k}{2}=3^{k-1}$ 이므로 $\displaystyle \log_3\dfrac{a_k}{2}=k-1$ 이다.
4. 4.(2) 따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}(k-1)=0+1+\cdots+9=\dfrac{9\times 10}{2}=45$ 이다.
5. 5.(3) $\displaystyle S_n=3^{n}-1>1000$ 은 $\displaystyle 3^{n}>1001$ 이다.
6. 6.(3) $\displaystyle 3^{6}=729<1001$ 이고 $\displaystyle 3^{7}=2187>1001$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle n=7$ 이다. ( $\displaystyle S_6=728$ , $\displaystyle S_7=2186$ )

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle y'=3x^{2}$ 이므로 $\displaystyle x=2$ 에서의 기울기는 $\displaystyle 12$ 이다. 접점 $\displaystyle (2,\,8)$ 을 지나므로 $\displaystyle y-8=12(x-2)$ , 즉 $\displaystyle y=12x-16$ 이다.
2. 2.(2) 교점은 $\displaystyle x^{3}=12x-16$ , 즉 $\displaystyle x^{3}-12x+16=0$ 에서 구한다.
3. 3.(2) $\displaystyle x=2$ 가 접점이므로 $\displaystyle (x-2)^{2}$ 을 인수로 가진다. 실제로 $\displaystyle x^{3}-12x+16=(x-2)^{2}(x+4)$ 이다.
4. 4.(2) 따라서 접점이 아닌 교점은 $\displaystyle x=-4$ 일 때이고 $\displaystyle y=(-4)^{3}=-64$ 이므로 $\displaystyle (-4,\,-64)$ 이다.
5. 5.(3) $\displaystyle -4<x<2$ 에서 $\displaystyle x^{3}-(12x-16)=(x-2)^{2}(x+4)>0$ 이므로 곡선이 직선보다 위에 있다.
6. 6.(3) 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-4}^{2}\left(x^{3}-12x+16\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-6x^{2}+16x\right]_{-4}^{2}$ 이다.
7. 7.(3) $\displaystyle x=2$ 에서의 값은 $\displaystyle 4-24+32=12$ 이고 $\displaystyle x=-4$ 에서의 값은 $\displaystyle 64-96-64=-96$ 이므로 넓이는 $\displaystyle 12-(-96)=108$ 이다.

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