🛠️ 한기대 예상 논술 1회

해설

1. 1.$\displaystyle \left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}=\left(\dfrac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}}=\left\{\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\right\}^{\frac{2}{3}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$
2. 2.$\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=3$
3. 3.따라서 $\displaystyle \dfrac{4}{9}\times 3=\dfrac{4}{3}$

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해설

1. 1.$\displaystyle \log_3 36-\log_3 4=\log_3\dfrac{36}{4}=\log_3 9=2$
2. 2.$\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}9=\dfrac{\log_3 9}{\log_3 \frac{1}{3}}=\dfrac{2}{-1}=-2$
3. 3.따라서 $\displaystyle 2+(-2)=0$

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해설

1. 1.분자를 유리화하기 위해 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x+3}+2$ 를 곱한다.
2. 2.$\displaystyle \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\dfrac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$
3. 3.따라서 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$

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해설

1. 1.$\displaystyle y=a\sin(bx+c)+d$ 의 주기는 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{|b|}$ 이므로 $\displaystyle p=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$
2. 2.$\displaystyle -1\le \sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\le 1$ 이므로 $\displaystyle -3\le 3\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\le 3$ , 즉 $\displaystyle -2\le f(x)\le 4$
3. 3.따라서 $\displaystyle M=4$ , $\displaystyle m=-2$ 이고 $\displaystyle M-m=6$
4. 4.$\displaystyle \dfrac{M-m}{p}=\dfrac{6}{\pi}$

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해설

1. 1.분자에 $\displaystyle f(2)$ 를 더하고 빼서 두 덩어리로 나눈다.
2. 2.$\displaystyle \dfrac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}=3\cdot\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{3h}+\dfrac{f(2-h)-f(2)}{-h}$
3. 3.$\displaystyle h\to 0$ 일 때 $\displaystyle 3h\to 0$ , $\displaystyle -h\to 0$ 이므로 미분계수의 정의에 의하여 각각 $\displaystyle 3f'(2)$ , $\displaystyle f'(2)$ 로 수렴한다.
4. 4.따라서 극한값은 $\displaystyle 3f'(2)+f'(2)=4f'(2)=4\times 5=20$

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해설

1. 1.미분가능하면 연속이므로 $\displaystyle x=2$ 에서 좌극한과 우극한, 함숫값이 모두 같아야 한다.
2. 2.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 2-}f(x)=4+2a+b$ , $\displaystyle f(2)=3\times 2-1=5$ 이므로 $\displaystyle 4+2a+b=5$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
3. 3.$\displaystyle x<2$ 에서 $\displaystyle f'(x)=2x+a$ , $\displaystyle x>2$ 에서 $\displaystyle f'(x)=3$ 이고 $\displaystyle x=2$ 에서 미분가능하므로 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다.
4. 4.즉 $\displaystyle 2\times 2+a=3$ 에서 $\displaystyle a=-1$ $\displaystyle \cdots$ ㉡
5. 5.㉡을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle 4+2\times(-1)+b=5$ , 즉 $\displaystyle 2+b=5$ 이므로 $\displaystyle b=3$
6. 6.따라서 $\displaystyle a=-1$ , $\displaystyle b=3$ 이고 $\displaystyle ab=-3$

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해설

1. 1.$\displaystyle y'=3x^2-4$ 이므로 점 $\displaystyle (2,\,0)$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 3\times 4-4=8$
2. 2.접선의 방정식은 $\displaystyle y-0=8(x-2)$ , 즉 $\displaystyle y=8x-16$
3. 3.곡선과 접선의 교점을 구하면 $\displaystyle x^3-4x=8x-16$ , $\displaystyle x^3-12x+16=0$
4. 4.$\displaystyle x=2$ 가 중근이므로 $\displaystyle x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4)$ 로 인수분해된다.
5. 5.따라서 접점이 아닌 교점은 $\displaystyle x=-4$ 이고, $\displaystyle y=8\times(-4)-16=-48$ 이므로 구하는 점은 $\displaystyle (-4,\,-48)$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^2-2x=x$ , $\displaystyle x^2-3x=0$ , $\displaystyle x(x-3)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=3$
2. 2.$\displaystyle 0<x<3$ 에서 $\displaystyle x-(x^2-2x)=-x^2+3x=x(3-x)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3\{x-(x^2-2x)\}\,dx=\int_0^3(-x^2+3x)\,dx$
4. 4.$\displaystyle =\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3=-9+\dfrac{27}{2}=\dfrac{9}{2}$

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해설

1. 1.(1) 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 을 곱하면
2. 2.$\displaystyle a_n=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
3. 3.(2) $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{99}a_k=\sum\limits_{k=1}^{99}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$ 이고, 이는 이웃한 항이 소거되는 꼴이다.
4. 4.$\displaystyle =(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})=\sqrt{100}-\sqrt{1}$
5. 5.$\displaystyle =10-1=9$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=3$
2. 2.$\displaystyle x<-1$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle -1<x<3$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle x>3$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
3. 3.극댓값 $\displaystyle f(-1)=-1-3+9=5$ , 극솟값 $\displaystyle f(3)=27-27-27=-27$
4. 4.(2) 방정식 $\displaystyle f(x)=k$ 의 실근은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=k$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표이다.
5. 5.삼차함수의 그래프와 수평선이 서로 다른 세 점에서 만나려면 $\displaystyle k$ 가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 한다. 즉 $\displaystyle -27<k<5$
6. 6.이 범위의 정수는 $\displaystyle -26,\,-25,\,\cdots,\,4$ 이므로 개수는 $\displaystyle 4-(-26)+1=31$

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