🛠️ 한기대 예상 논술 2회

해설

1. 1.$\displaystyle \sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}}=\left(3^{3}\right)^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}$ 이므로 $\displaystyle \log_3\sqrt{27}=\dfrac{3}{2}$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \dfrac{1}{9}=3^{-2}$ 이므로 $\displaystyle \log_3\dfrac{1}{9}=-2$ 이다.
3. 3.따라서 주어진 식의 값은 $\displaystyle \dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle -1$ 만큼 평행이동하면 $\displaystyle x$ 대신 $\displaystyle x-(-1)=x+1$ 을 대입하므로 $\displaystyle y=2^{x+1}$ 이 된다.
2. 2.다시 $\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle 3$ 만큼 평행이동하면 $\displaystyle y=2^{x+1}+3$ 이다.
3. 3.$\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle x=0$ 을 대입한 값이므로 $\displaystyle 2^{1}+3=5$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle x\ne 3$ 에서 $\displaystyle \dfrac{x^{2}-x-6}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2$ 이다.
2. 2.(1) 따라서 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 3}f(x)=3+2=5$ 이고, 연속이려면 $\displaystyle f(3)=k=5$ 여야 한다.
3. 3.(2) $\displaystyle f(0)=0+2=2$ , $\displaystyle f(1)=1+2=3$ 이다.
4. 4.(2) 원래 식에 직접 대입해도 $\displaystyle f(0)=\dfrac{-6}{-3}=2$ , $\displaystyle f(1)=\dfrac{1-1-6}{1-3}=\dfrac{-6}{-2}=3$ 으로 같다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle a_n=3+(n-1)\times 2=2n+1$ 이다.
2. 2.(1) $\displaystyle a_{10}=21$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k=\dfrac{10(3+21)}{2}=120$ 이다.
3. 3.(2) $\displaystyle a_k=2k+1$ , $\displaystyle a_{k+1}=2k+3$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}=\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right)$ 이다.
4. 4.(2) 합하면 가운데가 소거되어 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{23}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{20}{69}=\dfrac{10}{69}$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle y'=3x^{2}-2$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 3-2=1$ 이다.
2. 2.점 $\displaystyle (1,\,-1)$ 을 지나므로 접선은 $\displaystyle y-(-1)=1\times(x-1)$ , 즉 $\displaystyle y=x-2$ 이다.
3. 3.$\displaystyle x$ 축과 만나는 점은 $\displaystyle y=0$ 인 점이므로 $\displaystyle x-2=0$ 에서 $\displaystyle x=2$ 이다.
4. 4.점 $\displaystyle (1,\,-1)$ 이 곡선 위에 있는지 확인하면 $\displaystyle 1-2=-1$ 로 맞다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle g(x)=x^{2}+ax$ 라 하면 $\displaystyle f(x)=g(x)|x-1|$ 이다. $\displaystyle |x-1|$ 은 $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능하지 않다.
2. 2.(1) $\displaystyle x>1$ 에서 $\displaystyle f(x)=g(x)(x-1)$ 이고 $\displaystyle x<1$ 에서 $\displaystyle f(x)=-g(x)(x-1)$ 이다.
3. 3.(1) 곱의 미분법으로 우미분계수는 $\displaystyle g'(1)\times 0+g(1)\times 1=g(1)$ 이고, 좌미분계수는 $\displaystyle -g(1)$ 이다.
4. 4.(1) 두 값이 같아야 하므로 $\displaystyle g(1)=-g(1)$ , 즉 $\displaystyle g(1)=0$ 이다. $\displaystyle g(1)=1+a=0$ 에서 $\displaystyle a=-1$ 이다.
5. 5.(2) $\displaystyle a=-1$ 이므로 $\displaystyle x>1$ 에서 $\displaystyle f(x)=\left(x^{2}-x\right)(x-1)=x^{3}-2x^{2}+x$ 이다.
6. 6.(2) $\displaystyle f'(x)=3x^{2}-4x+1$ 이므로 $\displaystyle f'(2)=12-8+1=5$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle \displaystyle\int_0^1 t f(t)dt$ 는 $\displaystyle x$ 와 무관한 상수이므로 $\displaystyle k$ 로 놓으면 $\displaystyle f(x)=x^{2}+k$ 이다.
2. 2.(1) 이를 $\displaystyle k$ 의 정의에 대입하면 $\displaystyle k=\displaystyle\int_0^1 t\left(t^{2}+k\right)dt=\displaystyle\int_0^1\left(t^{3}+kt\right)dt=\left[\dfrac{t^{4}}{4}+\dfrac{k t^{2}}{2}\right]_0^1=\dfrac{1}{4}+\dfrac{k}{2}$ 이다.
3. 3.(1) $\displaystyle k-\dfrac{k}{2}=\dfrac{1}{4}$ 에서 $\displaystyle \dfrac{k}{2}=\dfrac{1}{4}$ , 즉 $\displaystyle k=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle f(x)=x^{2}+\dfrac{1}{2}$ 이다.
4. 4.(2) $\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(x^{2}+\dfrac{1}{2}\right)dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x}{2}\right]_0^2=\dfrac{8}{3}+1=\dfrac{11}{3}$ 이다.

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해설

1. 1.(1) 교점은 $\displaystyle x^{2}=mx$ 에서 $\displaystyle x(x-m)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=m$ 이다.
2. 2.(1) $\displaystyle 0<x<m$ 에서 $\displaystyle mx-x^{2}=x(m-x)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
3. 3.(1) 따라서 $\displaystyle S(m)=\displaystyle\int_0^m\left(mx-x^{2}\right)dx=\left[\dfrac{m x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^m=\dfrac{m^{3}}{2}-\dfrac{m^{3}}{3}=\dfrac{m^{3}}{6}$ 이다.
4. 4.(2) $\displaystyle \dfrac{m^{3}}{6}=36$ 에서 $\displaystyle m^{3}=216$ 이므로 $\displaystyle m=6$ 이다. ( $\displaystyle m>0$ 이므로 실수해는 하나다.)

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x$ 를 대입하면 $\displaystyle 2\left(1-\sin^{2}x\right)+3\sin x-3=0$ , 즉 $\displaystyle -2\sin^{2}x+3\sin x-1=0$ 이다.
2. 2.(1) 양변에 $\displaystyle -1$ 을 곱하면 $\displaystyle 2\sin^{2}x-3\sin x+1=0$ 이고, $\displaystyle \sin x=s$ 로 놓으면 $\displaystyle 2s^{2}-3s+1=(2s-1)(s-1)=0$ 이다.
3. 3.(1) 따라서 $\displaystyle s=\dfrac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle s=1$ 이고 둘 다 $\displaystyle -1\le s\le 1$ 을 만족시키므로 버릴 값이 없다.
4. 4.(2) $\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{2}$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle 0\le x<2\pi$ 에서 제 $\displaystyle 1$ 사분면의 $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}$ 과 제 $\displaystyle 2$ 사분면의 $\displaystyle \pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ 이다.
5. 5.(2) $\displaystyle \sin x=1$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ 하나이다.
6. 6.(2) 세 해의 합은 $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\pi+3\pi+5\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$ 이다.
7. 7.(3) 사인함수의 주기가 $\displaystyle 2\pi$ 이고 $\displaystyle 0\le x<4\pi$ 는 정확히 두 주기이다. 한 주기에 해가 $\displaystyle 3$ 개이므로 모두 $\displaystyle 6$ 개이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6=6(x-1)(x+1)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=1$ 이다.
2. 2.(1) 부호가 양 → 음 → 양이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=1$ 에서 극소이다.
3. 3.(1) $\displaystyle f(-1)=-2+6+k=k+4$ , $\displaystyle f(1)=2-6+k=k-4$ 이다.
4. 4.(2) 삼차함수의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 서로 다른 세 점에서 만나려면 (극댓값) $\displaystyle >0$ 이고 (극솟값) $\displaystyle <0$ 이어야 한다.
5. 5.(2) 즉 $\displaystyle k+4>0$ 이고 $\displaystyle k-4<0$ 이므로 $\displaystyle -4<k<4$ 이다.
6. 6.(2) 이 범위의 정수는 $\displaystyle -3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3$ 의 $\displaystyle 7$ 개이다.
7. 7.(3) $\displaystyle x\ge 0$ 에서 $\displaystyle f$ 는 $\displaystyle x=1$ 에서 극소이고 그 값이 최솟값이다. ( $\displaystyle f(0)=k>k-4$ 이므로 끝점은 더 크다.)
8. 8.(3) $\displaystyle k-4\ge 0$ 에서 $\displaystyle k\ge 4$ 이므로 $\displaystyle k$ 의 최솟값은 $\displaystyle 4$ 이다.

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