🛠️ 한기대 예상 논술 1회

해설

1. 1.$\displaystyle f$ 는 밑 $\displaystyle 3$ 이 $\displaystyle 1$ 보다 커서 증가함수이므로 $\displaystyle m=f(0)=1-1=0$ , $\displaystyle M=f(2)=9-1=8$
2. 2.$\displaystyle g$ 는 $\displaystyle 0<a<1$ 이므로 감소함수이다. 따라서 구간 $\displaystyle [-1,\,0]$ 에서 왼쪽 끝 $\displaystyle x=-1$ 에서 최대, 오른쪽 끝 $\displaystyle x=0$ 에서 최소이다.
3. 3.최솟값은 $\displaystyle g(0)=a^0+b=1+b=m=0$ 이므로 $\displaystyle b=-1$
4. 4.최댓값은 $\displaystyle g(-1)=a^{-1}+b=\dfrac{1}{a}-1=M=8$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{1}{a}=9$ , 즉 $\displaystyle a=\dfrac{1}{9}$ 이고 $\displaystyle 0<a<1$ 을 만족시킨다.
5. 5.따라서 $\displaystyle a+b=\dfrac{1}{9}-1=-\dfrac{8}{9}$

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해설

1. 1.먼저 $\displaystyle f^{-1}$ 를 구한다. $\displaystyle y=\log_2(x+2)+1$ 에서 $\displaystyle \log_2(x+2)=y-1$ 이므로 $\displaystyle x+2=2^{y-1}$ , 즉 $\displaystyle x=2^{y-1}-2$
2. 2.따라서 $\displaystyle f^{-1}(x)=2^{x-1}-2$
3. 3.$\displaystyle f^{-1}(4)=2^{3}-2=8-2=6$
4. 4.$\displaystyle \left(f^{-1}\circ f^{-1}\right)(4)=f^{-1}\left(f^{-1}(4)\right)=f^{-1}(6)=2^{5}-2=32-2=30$

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해설

1. 1.$\displaystyle x=0$ 은 $\displaystyle x\ne 1$ 이므로 $\displaystyle f(0)=\dfrac{0+0+b}{0-1}=-b$ 이다. $\displaystyle f(0)=6$ 이므로 $\displaystyle b=-6$
2. 2.$\displaystyle x=1$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}$ 가 존재해야 한다. 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다.
3. 3.즉 $\displaystyle 1+a+b=0$ 이고 $\displaystyle b=-6$ 이므로 $\displaystyle a=5$
4. 4.이때 분자는 $\displaystyle x^2+5x-6=(x-1)(x+6)$ 이므로 $\displaystyle x\ne 1$ 에서 $\displaystyle f(x)=x+6$ 이고, $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}f(x)=7$ 이므로 $\displaystyle c=7$
5. 5.따라서 $\displaystyle a+b+c=5+(-6)+7=6$

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해설

1. 1.$\displaystyle \sin\dfrac{n\pi}{3}$ 은 $\displaystyle n$ 이 $\displaystyle 6$ 만큼 커지면 같은 값이 되므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 주기가 $\displaystyle 6$ 이다.
2. 2.한 주기의 값을 계산하면 $\displaystyle a_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle a_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle a_3=0$ , $\displaystyle a_4=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle a_5=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle a_6=0$
3. 3.한 주기의 합은 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+0-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+0=0$ 이고 $\displaystyle 30=6\times 5$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{30}a_k=5\times 0=0$
4. 4.제곱한 값은 $\displaystyle \dfrac{3}{4},\,\dfrac{3}{4},\,0,\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{3}{4},\,0$ 이므로 한 주기의 합은 $\displaystyle 4\times\dfrac{3}{4}=3$ 이다.
5. 5.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{30}\left(a_k\right)^2=5\times 3=15$

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해설

1. 1.$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ 라 하면 $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x$ 이므로 접점에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 3a^2-6a$ 이다.
2. 2.접선의 방정식은 $\displaystyle y-\left(a^3-3a^2+2\right)=\left(3a^2-6a\right)(x-a)$
3. 3.이 직선이 점 $\displaystyle (0,\,2)$ 를 지나므로 $\displaystyle 2-\left(a^3-3a^2+2\right)=\left(3a^2-6a\right)(0-a)$
4. 4.좌변은 $\displaystyle -a^3+3a^2$ , 우변은 $\displaystyle -3a^3+6a^2$ 이므로 $\displaystyle -a^3+3a^2=-3a^3+6a^2$ , 즉 $\displaystyle 2a^3-3a^2=0$
5. 5.$\displaystyle a^2(2a-3)=0$ 에서 $\displaystyle a=0$ 또는 $\displaystyle a=\dfrac{3}{2}$ 이므로 모든 $\displaystyle a$ 의 값의 합은 $\displaystyle 0+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle f(x)=\left|x^2-4\right|$ 는 $\displaystyle x^2-4=0$ 인 $\displaystyle x=-2$ , $\displaystyle x=2$ 에서 미분가능하지 않다. 그 밖의 점에서는 다항함수이므로 미분가능하다.
2. 2.따라서 $\displaystyle h=fg$ 가 실수 전체에서 미분가능하려면 $\displaystyle x=-2$ 와 $\displaystyle x=2$ 에서 미분가능해야 한다.
3. 3.$\displaystyle x=2$ 의 좌우에서 $\displaystyle h(x)$ 는 $\displaystyle -\left(x^2-4\right)g(x)$ 와 $\displaystyle \left(x^2-4\right)g(x)$ 로 갈린다. 두 식의 $\displaystyle x=2$ 에서의 미분계수를 각각 구하면 $\displaystyle -\left\{2x\,g(x)+\left(x^2-4\right)g'(x)\right\}$ 와 $\displaystyle 2x\,g(x)+\left(x^2-4\right)g'(x)$ 이고, $\displaystyle x=2$ 에서는 각각 $\displaystyle -4g(2)$ 와 $\displaystyle 4g(2)$ 이다.
4. 4.두 값이 같아야 하므로 $\displaystyle -4g(2)=4g(2)$ , 즉 $\displaystyle g(2)=0$ 이다. 같은 방법으로 $\displaystyle x=-2$ 에서 $\displaystyle g(-2)=0$ 이다.
5. 5.즉 $\displaystyle g(x)=x^2+ax+b$ 는 $\displaystyle x=2$ , $\displaystyle x=-2$ 를 근으로 가지므로 $\displaystyle g(x)=(x-2)(x+2)=x^2-4$ , 따라서 $\displaystyle a=0$ , $\displaystyle b=-4$
6. 6.이때 $\displaystyle h(x)=\left|x^2-4\right|\left(x^2-4\right)$ 이고, $\displaystyle u=x^2-4$ 로 두면 $\displaystyle h=u|u|$ 이므로 $\displaystyle h'=2|u|u'$ 로 실수 전체에서 연속이다. 즉 미분가능하다.
7. 7.따라서 $\displaystyle a+b=0+(-4)=-4$

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해설

1. 1.(1) 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분한다. 좌변은 미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle f(x)$ 이고, 우변은 곱의 미분법에 의하여 $\displaystyle f(x)+x f'(x)-6x^2+2x$ 이다.
2. 2.(1) 따라서 $\displaystyle f(x)=f(x)+x f'(x)-6x^2+2x$ 이고, 정리하면 $\displaystyle x f'(x)=6x^2-2x$
3. 3.(1) $\displaystyle x\ne 0$ 에서 $\displaystyle f'(x)=6x-2$ 이고, $\displaystyle f'$ 는 다항함수이므로 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f'(x)=6x-2$ 이다.
4. 4.(2) $\displaystyle f(x)=\displaystyle\int(6x-2)\,dx=3x^2-2x+C$ 이고 $\displaystyle f(1)=3-2+C=1+C=1$ 이므로 $\displaystyle C=0$
5. 5.(2) 즉 $\displaystyle f(x)=3x^2-2x$ 이다. 검산하면 좌변 $\displaystyle \displaystyle\int_1^x(3t^2-2t)\,dt=x^3-x^2$ , 우변 $\displaystyle x(3x^2-2x)-2x^3+x^2=x^3-x^2$ 로 일치한다.
6. 6.(2) 따라서 $\displaystyle f(3)=27-6=21$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^3-6x^2+9x=mx$ 에서 $\displaystyle x\left(x^2-6x+9-m\right)=0$ 이다. 즉 $\displaystyle x=0$ 과 $\displaystyle x^2-6x+9-m=0$ 의 두 근이 교점의 $\displaystyle x$ 좌표다.
2. 2.두 부분의 넓이가 같다는 것은 곡선과 직선의 차를 가장 큰 교점까지 적분한 값이 $\displaystyle 0$ 이라는 뜻이다. 가장 큰 교점의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle \beta$ 라 하면 $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\beta}\left\{x^3-6x^2+(9-m)x\right\}dx=0$
3. 3.계산하면 $\displaystyle \dfrac{\beta^4}{4}-2\beta^3+\dfrac{(9-m)\beta^2}{2}=0$ 이고 $\displaystyle \beta\ne 0$ 이므로 양변을 $\displaystyle \dfrac{\beta^2}{4}$ 로 나누면 $\displaystyle \beta^2-8\beta+2(9-m)=0$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
4. 4.한편 $\displaystyle \beta$ 는 $\displaystyle x^2-6x+9-m=0$ 의 근이므로 $\displaystyle \beta^2-6\beta+9-m=0$ , 즉 $\displaystyle 9-m=6\beta-\beta^2$ $\displaystyle \cdots$ ㉡
5. 5.㉡을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \beta^2-8\beta+12\beta-2\beta^2=0$ , 즉 $\displaystyle -\beta^2+4\beta=0$ 이므로 $\displaystyle \beta=4$
6. 6.㉡에서 $\displaystyle 9-m=24-16=8$ 이므로 $\displaystyle m=1$ 이다. 이때 $\displaystyle x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ 로 교점이 $\displaystyle 0,\,2,\,4$ 이고, $\displaystyle \displaystyle\int_0^4\left(x^3-6x^2+8x\right)dx=64-128+64=0$ 으로 확인된다.

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해설

1. 1.$\displaystyle \sin^2 x=1-\cos^2 x$ 이므로 $\displaystyle f(x)=-\cos^2 x+a\cos x+1+b$ 이다. $\displaystyle \cos x=t$ 로 놓으면 $\displaystyle 0\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ 에서 $\displaystyle 0\le t\le 1$ 이고 $\displaystyle g(t)=-t^2+at+1+b$ 이다.
2. 2.(1) $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=0$ 이면 $\displaystyle g(t)=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2$ 이고 꼭짓점은 $\displaystyle t=1$ 이다. 구간 $\displaystyle [0,\,1]$ 의 오른쪽 끝이므로 $\displaystyle t=1$ 에서 최대, $\displaystyle t=0$ 에서 최소이다.
3. 3.(1) 따라서 $\displaystyle M=g(1)=2$ , $\displaystyle m=g(0)=1$
4. 4.(2) $\displaystyle g(t)=-\left(t-\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{a^2}{4}+1+b$ 이고 위로 볼록하므로, 꼭짓점 $\displaystyle t=\dfrac{a}{2}$ 가 구간 $\displaystyle [0,\,1]$ 의 어디에 있는지로 경우를 나눈다.
5. 5.(2) (i) $\displaystyle \dfrac{a}{2}\le 0$ , 즉 $\displaystyle a\le 0$ 이면 $\displaystyle g$ 는 $\displaystyle [0,\,1]$ 에서 감소하므로 $\displaystyle M=g(0)=1+b$ , $\displaystyle m=g(1)=a+b$ 이다. $\displaystyle 1+b=3$ 에서 $\displaystyle b=2$ , $\displaystyle a+b=-1$ 에서 $\displaystyle a=-3$ 이고 $\displaystyle a\le 0$ 을 만족시킨다.
6. 6.(2) (ii) $\displaystyle \dfrac{a}{2}\ge 1$ , 즉 $\displaystyle a\ge 2$ 이면 $\displaystyle g$ 는 증가하므로 $\displaystyle M=g(1)=a+b$ , $\displaystyle m=g(0)=1+b$ 이다. $\displaystyle 1+b=-1$ 에서 $\displaystyle b=-2$ , $\displaystyle a+b=3$ 에서 $\displaystyle a=5$ 이고 $\displaystyle a\ge 2$ 를 만족시킨다.
7. 7.(2) (iii) $\displaystyle 0<\dfrac{a}{2}<1$ , 즉 $\displaystyle 0<a<2$ 이면 최댓값은 꼭짓점의 값 $\displaystyle \dfrac{a^2}{4}+1+b$ 이다. 최솟값은 $\displaystyle g(0)$ 과 $\displaystyle g(1)$ 중 작은 쪽이다. 두 경우로 나누어 풀면 $\displaystyle a^2-4a-12=0$ 또는 $\displaystyle a^2=16$ 이 나와 각각 $\displaystyle a=6,\,-2$ 또는 $\displaystyle a=\pm 4$ 이고, 모두 $\displaystyle 0<a<2$ 밖이므로 해가 없다.
8. 8.(2) 따라서 순서쌍은 $\displaystyle (-3,\,2)$ 와 $\displaystyle (5,\,-2)$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
2. 2.(1) 극댓값은 $\displaystyle f(0)=k$ , 극솟값은 $\displaystyle f(2)=8-12+k=k-4$
3. 3.(2) $\displaystyle \left|f(x)\right|=4$ 는 $\displaystyle f(x)=4$ 또는 $\displaystyle f(x)=-4$ 와 같다. 두 방정식의 서로 다른 실근의 개수의 합이 $\displaystyle 4$ 가 되어야 한다.
4. 4.(2) 삼차함수에서 방정식 $\displaystyle f(x)=c$ 의 서로 다른 실근의 개수는, $\displaystyle c$ 가 극솟값과 극댓값 사이이면 $\displaystyle 3$ , 극값과 같으면 $\displaystyle 2$ , 그 밖이면 $\displaystyle 1$ 이다.
5. 5.(2) (i) $\displaystyle f(x)=4$ 가 세 근, $\displaystyle f(x)=-4$ 가 한 근인 경우: $\displaystyle k-4<4<k$ 에서 $\displaystyle 4<k<8$ 이고 이때 $\displaystyle -4<k-4$ 이므로 $\displaystyle f(x)=-4$ 는 한 근이다. 정수는 $\displaystyle 5,\,6,\,7$ 이다.
6. 6.(2) (ii) $\displaystyle f(x)=4$ 가 한 근, $\displaystyle f(x)=-4$ 가 세 근인 경우: $\displaystyle k-4<-4<k$ 에서 $\displaystyle -4<k<0$ 이고 이때 $\displaystyle 4>k$ 이므로 $\displaystyle f(x)=4$ 는 한 근이다. 정수는 $\displaystyle -3,\,-2,\,-1$ 이다.
7. 7.(2) (iii) 둘 다 두 근인 경우: $\displaystyle f(x)=4$ 가 두 근이려면 $\displaystyle k=4$ 또는 $\displaystyle k=8$ , $\displaystyle f(x)=-4$ 가 두 근이려면 $\displaystyle k=0$ 또는 $\displaystyle k=-4$ 이므로 동시에 만족시키는 $\displaystyle k$ 는 없다.
8. 8.(2) 따라서 정수 $\displaystyle k$ 는 $\displaystyle -3,\,-2,\,-1,\,5,\,6,\,7$ 의 $\displaystyle 6$ 개이다.

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