🛠️ 한기대 예상 논술 9회

해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{1}{9}=3^{-2}$ 이므로 $\displaystyle \log_3 3^{-2}=-2$

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해설

1. 1.$\displaystyle \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$ 이므로 $\displaystyle \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^4=3^{2}$
2. 2.$\displaystyle 3^2=9$

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해설

1. 1.분자를 인수분해하면 $\displaystyle x^2+3x=x(x+3)$ 이다.
2. 2.$\displaystyle x\to 0$ 이지만 $\displaystyle x\ne 0$ 이므로 $\displaystyle x$ 로 약분할 수 있다.
3. 3.약분하면 $\displaystyle x+3$ 이므로 극한값은 $\displaystyle 0+3=3$

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해설

1. 1.공비는 $\displaystyle r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{-2}{1}=-2$
2. 2.$\displaystyle a_5=a_1r^4=1\times(-2)^4$
3. 3.$\displaystyle (-2)^4=16$ 이므로 $\displaystyle a_5=16$

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해설

1. 1.곱의 미분법에 의하여 $\displaystyle f'(x)=2x(x-2)+(x^2+1)\times 1$
2. 2.$\displaystyle x=0$ 을 대입하면 $\displaystyle f'(0)=0\times(-2)+(0+1)=0+1=1$

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해설

1. 1.$\displaystyle x=0$ 은 $\displaystyle x\le 1$ 구간에 있으므로 $\displaystyle f(0)=2\times 0+a=a$ 이다. 따라서 $\displaystyle a=3$
2. 2.$\displaystyle x=1$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1+}f(x)=f(1)$ 이어야 한다.
3. 3.$\displaystyle f(1)=2\times 1+a=2+3=5$ 이고, $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1+}f(x)=1^2+b=1+b$
4. 4.$\displaystyle 1+b=5$ 이므로 $\displaystyle b=4$
5. 5.따라서 $\displaystyle a+b=3+4=7$

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해설

1. 1.점 $\displaystyle (2,\,2)$ 가 곡선 위에 있는지 확인하면 $\displaystyle 8-6=2$ 로 맞다.
2. 2.$\displaystyle y'=3x^2-3$ 이므로 $\displaystyle x=2$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 12-3=9$
3. 3.접선의 방정식은 $\displaystyle y-2=9(x-2)$ , 즉 $\displaystyle y=9x-16$
4. 4.$\displaystyle x$ 절편은 $\displaystyle 9x-16=0$ 에서 $\displaystyle x=\dfrac{16}{9}$ 이고, $\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle x=0$ 일 때 $\displaystyle y=-16$ 이다.
5. 5.삼각형의 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\times\left|\dfrac{16}{9}\right|\times|-16|=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{16}{9}\times 16=\dfrac{128}{9}$

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해설

1. 1.$\displaystyle x^2-x=x(x-1)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=1$
2. 2.$\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle x(x-1)<0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left\{-(x^2-x)\right\}dx=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx$
4. 4.$\displaystyle =\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$

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해설

1. 1.(1) 로그가 정의되려면 진수가 양수여야 하므로 $\displaystyle x+1>0$ , 즉 $\displaystyle x>-1$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
2. 2.(1) $\displaystyle 3=\log_2 8$ 이므로 부등식은 $\displaystyle \log_2(x+1)\le\log_2 8$ 이고, 밑 $\displaystyle 2$ 가 $\displaystyle 1$ 보다 크므로 진수의 대소가 유지된다.
3. 3.(1) 따라서 $\displaystyle x+1\le 8$ , 즉 $\displaystyle x\le 7$ $\displaystyle \cdots$ ㉡
4. 4.(1) ㉠과 ㉡의 공통 범위는 $\displaystyle -1<x\le 7$ 이다.
5. 5.(2) 이 범위의 정수는 $\displaystyle 0,\,1,\,2,\,\cdots,\,7$ 이다.
6. 6.(2) 개수는 $\displaystyle 7-0+1=8$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle 3x^2+2x$ 의 부정적분 중 하나는 $\displaystyle x^3+x^2$ 이다.
2. 2.(1) $\displaystyle \displaystyle\int_0^1(3x^2+2x)\,dx=\left[x^3+x^2\right]_0^1=1+1=2$
3. 3.(2) 같은 부정적분을 쓰면 $\displaystyle \displaystyle\int_0^a(3x^2+2x)\,dx=\left[x^3+x^2\right]_0^a=a^3+a^2$
4. 4.(2) 따라서 $\displaystyle a^3+a^2=12$ , 즉 $\displaystyle a^3+a^2-12=0$
5. 5.(2) $\displaystyle a=2$ 를 대입하면 $\displaystyle 8+4-12=0$ 이므로 $\displaystyle a-2$ 가 인수이고, 나누면 $\displaystyle (a-2)(a^2+3a+6)=0$
6. 6.(2) $\displaystyle a^2+3a+6=\left(a+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0$ 이므로 실근은 $\displaystyle a=2$ 뿐이다.

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