🛠️ 한기대 예상 논술 10회

해설

1. 1.밑이 같은 로그의 차는 진수의 나눗셈이므로 $\displaystyle \log_2\dfrac{48}{3}=\log_2 16$
2. 2.$\displaystyle 16=2^4$ 이므로 $\displaystyle \log_2 16=4$

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해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{1}{8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ 이므로 $\displaystyle \sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3}=\dfrac{1}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle \infty-\infty$ 꼴이므로 유리화한다. 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x^2+2x}+x$ 를 곱하면
2. 2.$\displaystyle \dfrac{(x^2+2x)-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}$
3. 3.$\displaystyle x>0$ 으로 두고 분모와 분자를 $\displaystyle x$ 로 나누면 $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}$
4. 4.$\displaystyle x\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{2}{x}\to 0$ 이므로 극한값은 $\displaystyle \dfrac{2}{1+1}=1$

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해설

1. 1.주어진 식의 양변을 제곱하면 $\displaystyle \sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
2. 2.$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 이므로 $\displaystyle 1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{3}{2}$
3. 3.$\displaystyle 2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4}$

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해설

1. 1.곡선이 점 $\displaystyle (1,\,0)$ 을 지나므로 $\displaystyle 1+a+1=0$ , 즉 $\displaystyle a=-2$
2. 2.따라서 곡선의 식은 $\displaystyle y=x^2-2x+1$ 이고 $\displaystyle y'=2x-2$
3. 3.$\displaystyle x=1$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 2\times 1-2=0$

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해설

1. 1.$\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x$ 라 하면 $\displaystyle f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
2. 2.극댓값은 $\displaystyle f(1)=1-6+9=4$ , 극솟값은 $\displaystyle f(3)=27-54+27=0$
3. 3.삼차함수의 그래프와 수평선이 정확히 두 점에서 만나려면 수평선이 극댓값 또는 극솟값을 지나야 한다.
4. 4.즉 $\displaystyle k=4$ 또는 $\displaystyle k=0$ 이다.
5. 5.따라서 모든 $\displaystyle k$ 의 값의 합은 $\displaystyle 4+0=4$

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해설

1. 1.전개하면 $\displaystyle (x+1)(x+2)=x^2+3x+2$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \displaystyle\int_0^1(x^2+3x+2)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2}x^2+2x\right]_0^1$
3. 3.$\displaystyle =\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+2-0$
4. 4.통분하면 $\displaystyle \dfrac{2}{6}+\dfrac{9}{6}+\dfrac{12}{6}=\dfrac{23}{6}$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle \dfrac{1}{2}x^2=2$ 에서 $\displaystyle x^2=4$ 이므로 $\displaystyle x=-2$ 또는 $\displaystyle x=2$
2. 2.$\displaystyle -2<x<2$ 에서 $\displaystyle 2-\dfrac{1}{2}x^2>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
3. 3.넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}\left(2-\dfrac{1}{2}x^2\right)dx$ 이고 피적분함수가 우함수이므로 $\displaystyle 2\displaystyle\int_0^2\left(2-\dfrac{1}{2}x^2\right)dx$
4. 4.$\displaystyle =2\left[2x-\dfrac{x^3}{6}\right]_0^2=2\left(4-\dfrac{8}{6}\right)=2\times\dfrac{16}{6}=\dfrac{16}{3}$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times 2=2n-1$
2. 2.(2) $\displaystyle S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n\{1+(2n-1)\}}{2}=\dfrac{n\times 2n}{2}=n^2$
3. 3.(2) 즉 $\displaystyle S_n=n^2$ 이고, 이는 홀수를 차례로 더한 합이 제곱수라는 사실과 같다.
4. 4.(2) $\displaystyle n^2=225$ 에서 $\displaystyle n=15$ 또는 $\displaystyle n=-15$ 이고, $\displaystyle n$ 은 자연수이므로 $\displaystyle n=15$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)$
2. 2.(1) 따라서 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-\sqrt{2}$ , $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=\sqrt{2}$
3. 3.(2) 부호를 조사하면 $\displaystyle x<-\sqrt{2}$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle -\sqrt{2}<x<0$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle 0<x<\sqrt{2}$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle x>\sqrt{2}$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이다.
4. 4.(2) 따라서 $\displaystyle x=\pm\sqrt{2}$ 에서 극소, $\displaystyle x=0$ 에서 극대이다.
5. 5.(2) 극댓값은 $\displaystyle f(0)=0$ 이고, 극솟값은 $\displaystyle f\left(\pm\sqrt{2}\right)=4-8=-4$ 이다.

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