🛠️ 한기대 예상 논술 8회

해설

1. 1.$\displaystyle 2\sqrt{2}=2^1\times 2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}$
2. 2.따라서 $\displaystyle \log_2 2^{\frac{3}{2}}=\dfrac{3}{2}$

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해설

1. 1.거듭제곱의 거듭제곱은 지수끼리 곱한다. $\displaystyle \left(2^{3}\right)^{\frac{2}{3}}=2^{3\times\frac{2}{3}}=2^2$
2. 2.$\displaystyle 2^2=4$

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해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이므로 분자를 유리화한다. 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x}+1$ 을 곱하면
2. 2.분자는 $\displaystyle x-1$ 이 되므로 식은 $\displaystyle \dfrac{x-1}{(x-1)\left(\sqrt{x}+1\right)}$
3. 3.$\displaystyle x\ne 1$ 이므로 약분하면 $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}+1}$
4. 4.따라서 극한값은 $\displaystyle \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ 는 제2사분면의 각이므로 $\displaystyle \sin\theta>0$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ 이고 $\displaystyle \sin\theta>0$ 이므로 $\displaystyle \sin\theta=\dfrac{4}{5}$
3. 3.$\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{4/5}{-3/5}=-\dfrac{4}{3}$

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해설

1. 1.원점은 곡선 위의 점이 아니므로 접점을 $\displaystyle (t,\,t^2+1)$ 로 놓는다.
2. 2.$\displaystyle y'=2x$ 이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle 2t$ 이고, 이 접선이 원점을 지나므로 $\displaystyle \dfrac{t^2+1-0}{t-0}=2t$
3. 3.정리하면 $\displaystyle t^2+1=2t^2$ , 즉 $\displaystyle t^2=1$ 이므로 $\displaystyle t=1$ 또는 $\displaystyle t=-1$
4. 4.기울기 $\displaystyle 2t$ 가 양수인 것은 $\displaystyle t=1$ 일 때이고, 그 기울기는 $\displaystyle 2$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle x=1$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=4$ 이어야 한다.
2. 2.$\displaystyle x\to 1$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle 1+a+b=0$
3. 3.따라서 $\displaystyle x^2+ax+b=(x-1)(x-c)$ 로 놓을 수 있고, $\displaystyle x\ne 1$ 에서 $\displaystyle f(x)=x-c$ 이다.
4. 4.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}(x-c)=1-c=4$ 이므로 $\displaystyle c=-3$
5. 5.$\displaystyle (x-1)(x+3)=x^2+2x-3$ 이므로 $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=-3$ 이고 $\displaystyle ab=2\times(-3)=-6$

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=-3x^2+6x+9=-3(x^2-2x-3)=-3(x-3)(x+1)$
2. 2.$\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=3$ 이다.
3. 3.최고차항의 계수가 음수이므로 $\displaystyle x<-1$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle -1<x<3$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle x>3$ 에서 $\displaystyle f'<0$ 이다.
4. 4.따라서 $\displaystyle x=-1$ 에서 극소, $\displaystyle x=3$ 에서 극대이다.
5. 5.극솟값 $\displaystyle f(-1)=1+3-9=-5$ , 극댓값 $\displaystyle f(3)=-27+27+27=27$
6. 6.따라서 합은 $\displaystyle 27+(-5)=22$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^2=-x+6$ 에서 $\displaystyle x^2+x-6=0$ , $\displaystyle (x+3)(x-2)=0$ 이므로 $\displaystyle x=-3$ 또는 $\displaystyle x=2$
2. 2.$\displaystyle -3<x<2$ 에서 $\displaystyle (-x+6)-x^2=-x^2-x+6=-(x+3)(x-2)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-3}^{2}(-x^2-x+6)\,dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+6x\right]_{-3}^{2}$
4. 4.$\displaystyle =\left(-\dfrac{8}{3}-2+12\right)-\left(9-\dfrac{9}{2}-18\right)=\dfrac{22}{3}-\left(-\dfrac{27}{2}\right)=\dfrac{44}{6}+\dfrac{81}{6}=\dfrac{125}{6}$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}k^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ 이다. 즉 $\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle n$ 까지의 합의 제곱과 같다.
2. 2.(2) 시그마를 분리하면 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}k^3-\sum\limits_{k=1}^{5}k$
3. 3.(2) $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}k^3=\left(\dfrac{5\times 6}{2}\right)^2=15^2=225$
4. 4.(2) $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}k=\dfrac{5\times 6}{2}=15$
5. 5.(2) 따라서 $\displaystyle 225-15=210$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f(x)=\left[t^2-2t\right]_1^x=(x^2-2x)-(1-2)=x^2-2x+1$
2. 2.(1) 완전제곱하면 $\displaystyle f(x)=(x-1)^2$
3. 3.(2) $\displaystyle (x-1)^2\ge 0$ 이고 등호는 $\displaystyle x=1$ 일 때 성립한다.
4. 4.(2) 따라서 $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값은 $\displaystyle 0$ 이다.
5. 5.(2) 미분으로 확인하면 $\displaystyle f'(x)=2x-2=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 이고, 좌우에서 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $\displaystyle x=1$ 에서 최소가 맞다.

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