🛠️ 한기대 예상 논술 7회

해설

1. 1.밑이 같은 로그의 차는 진수의 나눗셈이므로 $\displaystyle \log_5\dfrac{100}{4}=\log_5 25$
2. 2.$\displaystyle \log_5 25=\log_5 5^2=2$

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해설

1. 1.$\displaystyle 16=2^4$ 이므로 $\displaystyle 16^{-\frac{1}{4}}=(2^4)^{-\frac{1}{4}}=2^{-1}$
2. 2.$\displaystyle 2^{-1}=\dfrac{1}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\to\infty$ 이므로 $\displaystyle x>0$ 으로 두고 분모와 분자를 $\displaystyle x$ 로 나눈다.
2. 2.분모는 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}$ 이다. ($\displaystyle x>0$ 이므로 $\displaystyle x=\sqrt{x^2}$)
3. 3.분자는 $\displaystyle \dfrac{3x-1}{x}=3-\dfrac{1}{x}$
4. 4.$\displaystyle x\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0$ , $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}\to 0$ 이므로 극한값은 $\displaystyle \dfrac{3}{1}=3$

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해설

1. 1.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}2k=2\times\dfrac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$
2. 2.따라서 $\displaystyle n(n+1)=110$
3. 3.$\displaystyle 110=10\times 11$ 이고 연속한 두 자연수의 곱이므로 $\displaystyle n=10$

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해설

1. 1.$\displaystyle x=1$ 에서만 연속을 따지면 된다. $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1+}f(x)=f(1)$ 이어야 한다.
2. 2.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1-}f(x)=1^2+1=2$
3. 3.$\displaystyle f(1)=a\times 1+3=a+3$
4. 4.$\displaystyle 2=a+3$ 이므로 $\displaystyle a=-1$

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해설

1. 1.$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ 라 하면 $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
2. 2.극댓값은 $\displaystyle f(0)=2$ , 극솟값은 $\displaystyle f(2)=8-12+2=-2$
3. 3.곡선과 수평선이 서로 다른 세 점에서 만나려면 수평선이 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 한다. 즉 $\displaystyle -2<k<2$
4. 4.양 끝에서 등호를 넣으면 중근이 생겨 교점이 두 개가 되므로 등호는 포함하지 않는다.
5. 5.이 범위의 정수는 $\displaystyle -1,\,0,\,1$ 의 $\displaystyle 3$ 개이다.

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해설

1. 1.먼저 $\displaystyle x=1$ 을 대입하면 좌변은 $\displaystyle 0$ 이고 우변은 $\displaystyle 1-3+2=0$ 이므로 모순이 없다.
2. 2.양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면 미적분의 기본정리에 의하여 좌변은 $\displaystyle f(x)$ 가 된다.
3. 3.우변을 미분하면 $\displaystyle 2x-3$ 이므로 $\displaystyle f(x)=2x-3$
4. 4.따라서 $\displaystyle f(4)=2\times 4-3=8-3=5$

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해설

1. 1.$\displaystyle x^3-x=x(x-1)(x+1)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1,\,0,\,1$ 이므로 곡선은 $\displaystyle x$ 축과 세 점에서 만난다.
2. 2.$\displaystyle -1<x<0$ 에서는 $\displaystyle x^3-x>0$ (예: $\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}$ 일 때 $\displaystyle -\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}>0$)이므로 곡선이 위에 있다.
3. 3.$\displaystyle 0<x<1$ 에서는 $\displaystyle x^3-x<0$ 이므로 곡선이 아래에 있다.
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}=0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}$
5. 5.$\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$
6. 6.따라서 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle \sin x>0$ 이므로 $\displaystyle x$ 는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이다.
2. 2.(1) $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로 제1사분면의 해는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}$ 이다.
3. 3.(1) 제2사분면의 해는 $\displaystyle x=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ 이다.
4. 4.(2) 두 해의 합은 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}=\pi$
5. 5.(2) 참고로 $\displaystyle y=\sin x$ 의 그래프는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ 에 대하여 대칭이므로 두 해의 평균이 $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ 이고 합은 $\displaystyle \pi$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=3$
2. 2.(1) $\displaystyle x<-1$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle -1<x<3$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle x>3$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
3. 3.(1) 극댓값 $\displaystyle f(-1)=-1-3+9+5=10$ , 극솟값 $\displaystyle f(3)=27-27-27+5=-22$
4. 4.(2) 두 극점이 모두 구간 $\displaystyle [-2,\,4]$ 안에 있으므로 극값과 양 끝 값을 모두 비교한다.
5. 5.(2) $\displaystyle f(-2)=-8-12+18+5=3$ , $\displaystyle f(4)=64-48-36+5=-15$
6. 6.(2) 네 값 $\displaystyle 10,\,-22,\,3,\,-15$ 를 비교하면 최댓값은 $\displaystyle 10$ , 최솟값은 $\displaystyle -22$ 이다.

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