🛠️ 한기대 예상 논술 6회

해설

1. 1.$\displaystyle 8^{\frac{1}{3}}=(2^3)^{\frac{1}{3}}=2$ , $\displaystyle 4^{\frac{1}{2}}=(2^2)^{\frac{1}{2}}=2$
2. 2.따라서 $\displaystyle 2\times 2=4$

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해설

1. 1.밑이 같은 로그의 차는 진수의 나눗셈이므로 $\displaystyle \log_3\dfrac{6}{2}=\log_3 3$
2. 2.$\displaystyle \log_3 3=1$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\to -1$ 일 때 분모와 분자가 모두 $\displaystyle 0$ 으로 가는 $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이다.
2. 2.$\displaystyle x^2-1=(x+1)(x-1)$ 이고 $\displaystyle x\ne -1$ 이므로 $\displaystyle x+1$ 로 약분하면 $\displaystyle x-1$
3. 3.따라서 극한값은 $\displaystyle -1-1=-2$

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해설

1. 1.$\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle 3$ 만큼 평행이동하면 $\displaystyle x$ 대신 $\displaystyle x-3$ 을 대입하므로 평행이동한 그래프의 식은 $\displaystyle y=2^{x-3}$
2. 2.점 $\displaystyle (5,\,k)$ 를 지나므로 $\displaystyle k=2^{5-3}=2^2$
3. 3.따라서 $\displaystyle k=4$

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해설

1. 1.접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수이므로 $\displaystyle f'(1)=7$ 이어야 한다.
2. 2.$\displaystyle f'(x)=3x^2+a$ 이므로 $\displaystyle f'(1)=3+a$
3. 3.$\displaystyle 3+a=7$ 에서 $\displaystyle a=4$

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해설

1. 1.접점의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle t$ 라 하면 접점은 $\displaystyle (t,\,t^2-2t)$ 이다.
2. 2.$\displaystyle y'=2x-2$ 이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle 2t-2$ 이고, 이것이 $\displaystyle 4$ 이므로 $\displaystyle 2t-2=4$ , 즉 $\displaystyle t=3$
3. 3.접점의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle 3^2-2\times 3=9-6=3$ 이므로 접점은 $\displaystyle (3,\,3)$ 이다.
4. 4.기울기가 $\displaystyle 4$ 이고 점 $\displaystyle (3,\,3)$ 을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y-3=4(x-3)$
5. 5.정리하면 $\displaystyle y=4x-9$

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해설

1. 1.$\displaystyle (x+1)^2$ 의 부정적분 중 하나는 $\displaystyle \dfrac{(x+1)^3}{3}$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}(x+1)^2\,dx=\left[\dfrac{(x+1)^3}{3}\right]_{-1}^{1}$
3. 3.$\displaystyle =\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}=\dfrac{8}{3}-0$
4. 4.$\displaystyle =\dfrac{8}{3}$

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해설

1. 1.구간 $\displaystyle 1\le x\le 3$ 에서 $\displaystyle x^2>0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 위에 있다.
2. 2.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_1^3 x^2\,dx$
3. 3.$\displaystyle =\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3=\dfrac{27}{3}-\dfrac{1}{3}$
4. 4.$\displaystyle =\dfrac{26}{3}$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle a_5=a_1+4d$ 이므로 $\displaystyle 15=3+4d$ , $\displaystyle 4d=12$ , 즉 $\displaystyle d=3$
2. 2.(2) 일반항은 $\displaystyle a_n=3+(n-1)\times 3=3n$ 이다.
3. 3.(2) 따라서 $\displaystyle S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n(3+3n)}{2}=\dfrac{3n(n+1)}{2}$
4. 4.(2) $\displaystyle \dfrac{3n(n+1)}{2}>200$ 에서 $\displaystyle n(n+1)>\dfrac{400}{3}=133.3\cdots$
5. 5.(2) $\displaystyle n=11$ 일 때 $\displaystyle 11\times 12=132$ 로 부족하고, $\displaystyle n=12$ 일 때 $\displaystyle 12\times 13=156$ 으로 충분하다.
6. 6.(2) 실제로 $\displaystyle S_{11}=\dfrac{3\times 132}{2}=198<200$ , $\displaystyle S_{12}=\dfrac{3\times 156}{2}=234>200$ 이므로 최소의 $\displaystyle n$ 은 $\displaystyle 12$ 이다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=1$
2. 2.(2) 부호를 조사하면 $\displaystyle x<-1$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle -1<x<0$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle x>1$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이다.
3. 3.(2) 따라서 $\displaystyle x=-1$ 에서 극소, $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=1$ 에서 극소이다.
4. 4.(2) 극댓값은 $\displaystyle f(0)=0$
5. 5.(2) 극솟값은 $\displaystyle f(-1)=1-2=-1$ 과 $\displaystyle f(1)=1-2=-1$ 로 둘 다 $\displaystyle -1$ 이다.

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