🛠️ 한기대 예상 논술 5회

해설

1. 1.밑이 같은 로그의 차는 진수의 나눗셈이다. $\displaystyle \log_2 40-\log_2 5=\log_2\dfrac{40}{5}=\log_2 8$
2. 2.$\displaystyle \log_2 8=\log_2 2^3=3$

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해설

1. 1.$\displaystyle 81=3^4$ 이므로 $\displaystyle \sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3$

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해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이므로 분모를 유리화한다. 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x}+1$ 을 곱하면 분모는 $\displaystyle x-1$ 이 된다.
2. 2.$\displaystyle \dfrac{(x^2-1)(\sqrt{x}+1)}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)(\sqrt{x}+1)}{x-1}$
3. 3.$\displaystyle x\ne 1$ 이므로 약분하면 $\displaystyle (x+1)(\sqrt{x}+1)$
4. 4.따라서 극한값은 $\displaystyle (1+1)(1+1)=4$

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해설

1. 1.호의 길이는 $\displaystyle l=r\theta$ 이므로 $\displaystyle 6=3\theta$ , 즉 $\displaystyle \theta=2$ (라디안)
2. 2.부채꼴의 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}r^2\theta=\dfrac{1}{2}\times 9\times 2=9$

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해설

1. 1.$\displaystyle y'=2x+3$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 2+3=5$
2. 2.접선의 방정식은 $\displaystyle y-4=5(x-1)$ , 즉 $\displaystyle y=5x-1$
3. 3.$\displaystyle x$ 축과 만나는 점은 $\displaystyle y=0$ 인 점이므로 $\displaystyle 5x-1=0$ 에서 $\displaystyle x=\dfrac{1}{5}$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\to 3$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle \sqrt{3+a}-b=0$ , $\displaystyle b=\sqrt{3+a}$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
2. 2.분자를 유리화하면 $\displaystyle \dfrac{(x+a)-b^2}{(x-3)(\sqrt{x+a}+b)}$ 이고, ㉠에서 $\displaystyle b^2=3+a$ 이므로 분자는 $\displaystyle x+a-(3+a)=x-3$
3. 3.따라서 주어진 식은 $\displaystyle \dfrac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+a}+b)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+a}+b}$ ($\displaystyle x\ne 3$)
4. 4.$\displaystyle x\to 3$ 일 때 $\displaystyle \sqrt{3+a}+b=b+b=2b$ 이므로 극한값은 $\displaystyle \dfrac{1}{2b}$
5. 5.$\displaystyle \dfrac{1}{2b}=\dfrac{1}{6}$ 에서 $\displaystyle b=3$ 이고, ㉠에서 $\displaystyle 3+a=9$ , 즉 $\displaystyle a=6$
6. 6.따라서 $\displaystyle a+b=6+3=9$

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
2. 2.극댓값은 $\displaystyle f(0)=k$ , 극솟값은 $\displaystyle f(2)=8-12+k=k-4$
3. 3.삼차함수의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 서로 다른 세 점에서 만나려면 (극댓값)×(극솟값)$\displaystyle <0$ 이어야 한다.
4. 4.$\displaystyle k(k-4)<0$ 에서 $\displaystyle 0<k<4$
5. 5.이 범위의 정수는 $\displaystyle 1,\,2,\,3$ 의 $\displaystyle 3$ 개이다.

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^2-4=3x$ 에서 $\displaystyle x^2-3x-4=0$ , $\displaystyle (x+1)(x-4)=0$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=4$
2. 2.$\displaystyle -1<x<4$ 에서 $\displaystyle 3x-(x^2-4)=-x^2+3x+4=-(x+1)(x-4)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{4}(-x^2+3x+4)\,dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2}x^2+4x\right]_{-1}^{4}$
4. 4.$\displaystyle =\left(-\dfrac{64}{3}+24+16\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-4\right)=\dfrac{56}{3}-\left(-\dfrac{13}{6}\right)=\dfrac{112}{6}+\dfrac{13}{6}=\dfrac{125}{6}$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle 2^{2x}=(2^x)^2$ 이므로 $\displaystyle 2^x=t\ (t>0)$ 로 놓으면 방정식은 $\displaystyle t^2-5t+4=0$
2. 2.(1) $\displaystyle (t-1)(t-4)=0$ 에서 $\displaystyle t=1$ 또는 $\displaystyle t=4$ 이고, 둘 다 $\displaystyle t>0$ 을 만족시키므로 모두 적합하다.
3. 3.(2) $\displaystyle 2^x=1=2^0$ 에서 $\displaystyle x=0$
4. 4.(2) $\displaystyle 2^x=4=2^2$ 에서 $\displaystyle x=2$
5. 5.(2) 따라서 두 근의 합은 $\displaystyle 0+2=2$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle f(x)=\left[t^3-3t^2\right]_0^x=(x^3-3x^2)-0=x^3-3x^2$
2. 2.(2) $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$
3. 3.(2) $\displaystyle x<0$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle x>2$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
4. 4.(2) 극댓값 $\displaystyle f(0)=0$ , 극솟값 $\displaystyle f(2)=8-12=-4$

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