🛠️ 한기대 예상 논술 4회

해설

1. 1.밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱이다. $\displaystyle \log_6 2+\log_6 3=\log_6(2\times 3)=\log_6 6$
2. 2.$\displaystyle \log_6 6=1$

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해설

1. 1.$\displaystyle \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}$
2. 2.$\displaystyle 8=2^3$ 이므로 $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^2=4$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\to\infty$ 이므로 $\displaystyle x>0$ 으로 두고 분모와 분자를 $\displaystyle x$ 로 나눈다.
2. 2.분자는 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{4x^2+1}}{x}=\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{x^2}}=\sqrt{4+\dfrac{1}{x^2}}$ 이다. ($\displaystyle x>0$ 이므로 $\displaystyle x=\sqrt{x^2}$)
3. 3.분모는 $\displaystyle \dfrac{x+2}{x}=1+\dfrac{2}{x}$
4. 4.$\displaystyle x\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}\to 0$ , $\displaystyle \dfrac{2}{x}\to 0$ 이므로 극한값은 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{4}}{1}=2$

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해설

1. 1.분자에 $\displaystyle f(2)$ 를 더하고 빼서 두 덩어리로 나눈다.
2. 2.$\displaystyle \dfrac{f(2+h)-f(2-h)}{h}=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}+\dfrac{f(2)-f(2-h)}{h}$
3. 3.두 번째 항은 $\displaystyle \dfrac{f(2-h)-f(2)}{-h}$ 와 같고, $\displaystyle h\to 0$ 일 때 $\displaystyle -h\to 0$ 이므로 두 항 모두 $\displaystyle f'(2)$ 로 수렴한다.
4. 4.$\displaystyle f'(x)=3x^2-1$ 이므로 $\displaystyle f'(2)=12-1=11$ 이고, 구하는 값은 $\displaystyle 2f'(2)=22$

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해설

1. 1.등차수열에서 $\displaystyle a_2+a_8=(a_5-3d)+(a_5+3d)=2a_5$ 이므로 $\displaystyle 2a_5=20$ , 즉 $\displaystyle a_5=10$
2. 2.첫째항부터 제 $\displaystyle 9$ 항까지의 합은 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{9}a_k=\dfrac{9(a_1+a_9)}{2}$ 이고, $\displaystyle a_1+a_9=2a_5$ 이므로
3. 3.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{9}a_k=\dfrac{9\times 2a_5}{2}=9a_5=9\times 10=90$

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해설

1. 1.$\displaystyle x=2$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-a}{x-2}$ 가 존재하고 그 값이 $\displaystyle b$ 여야 한다.
2. 2.$\displaystyle x\to 2$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle 4-a=0$ , $\displaystyle a=4$
3. 3.이때 $\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ ($\displaystyle x\ne 2$)
4. 4.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}(x+2)=4$ 이므로 $\displaystyle b=4$
5. 5.따라서 $\displaystyle a+b=4+4=8$

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=2$ 이고 둘 다 구간 안에 있다.
2. 2.$\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle 1<x<2$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle 2<x<3$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이다.
3. 3.극값과 양 끝 값을 모두 계산하면 $\displaystyle f(0)=0$ , $\displaystyle f(1)=2-9+12=5$ , $\displaystyle f(2)=16-36+24=4$ , $\displaystyle f(3)=54-81+36=9$
4. 4.네 값을 비교하면 최댓값은 $\displaystyle f(3)=9$ , 최솟값은 $\displaystyle f(0)=0$
5. 5.따라서 합은 $\displaystyle 9+0=9$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^2=-x^2+4x$ 에서 $\displaystyle 2x^2-4x=0$ , $\displaystyle 2x(x-2)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$
2. 2.$\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle (-x^2+4x)-x^2=-2x^2+4x=-2x(x-2)>0$ 이므로 $\displaystyle y=-x^2+4x$ 가 위에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(-2x^2+4x)\,dx$
4. 4.$\displaystyle =\left[-\dfrac{2}{3}x^3+2x^2\right]_0^2=-\dfrac{16}{3}+8=\dfrac{-16+24}{3}=\dfrac{8}{3}$

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해설

1. 1.(1) 각 $\displaystyle \mathrm{B}$ 를 끼고 있는 두 변은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=5$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=7$ 이고 마주 보는 변은 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=8$ 이다.
2. 2.(1) 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos B=\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2-\overline{\mathrm{CA}}^2}{2\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}}=\dfrac{25+49-64}{2\times 5\times 7}=\dfrac{10}{70}=\dfrac{1}{7}$
3. 3.(2) 삼각형의 내각이므로 $\displaystyle 0<B<\pi$ 이고 $\displaystyle \sin B>0$ 이다.
4. 4.(2) $\displaystyle \sin^2 B=1-\cos^2 B=1-\dfrac{1}{49}=\dfrac{48}{49}$ 이므로 $\displaystyle \sin B=\dfrac{\sqrt{48}}{7}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$
5. 5.(2) 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\cdot\sin B=\dfrac{1}{2}\times 5\times 7\times\dfrac{4\sqrt{3}}{7}=10\sqrt{3}$

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해설

1. 1.(1) 미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle g'(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$
2. 2.(1) $\displaystyle g'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-2$ 또는 $\displaystyle x=2$ 이고, 두 점 좌우에서 $\displaystyle g'$ 의 부호가 각각 바뀌므로 둘 다 극값을 갖는다.
3. 3.(2) 먼저 $\displaystyle g(x)$ 를 계산하면 $\displaystyle g(x)=\left[\dfrac{t^3}{3}-4t\right]_1^x=\left(\dfrac{x^3}{3}-4x\right)-\left(\dfrac{1}{3}-4\right)=\dfrac{x^3}{3}-4x+\dfrac{11}{3}$
4. 4.(2) $\displaystyle x<-2$ 에서 $\displaystyle g'>0$ , $\displaystyle -2<x<2$ 에서 $\displaystyle g'<0$ , $\displaystyle x>2$ 에서 $\displaystyle g'>0$ 이므로 $\displaystyle x=-2$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
5. 5.(2) 극댓값 $\displaystyle g(-2)=-\dfrac{8}{3}+8+\dfrac{11}{3}=\dfrac{-8+11}{3}+8=1+8=9$
6. 6.(2) 극솟값 $\displaystyle g(2)=\dfrac{8}{3}-8+\dfrac{11}{3}=\dfrac{19}{3}-8=-\dfrac{5}{3}$

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