🛠️ 한기대 예상 논술 3회

해설

1. 1.$\displaystyle 27^{\frac{1}{3}}=(3^3)^{\frac{1}{3}}=3$
2. 2.$\displaystyle 16^{\frac{3}{4}}=(2^4)^{\frac{3}{4}}=2^3=8$
3. 3.따라서 $\displaystyle 3+8=11$

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해설

1. 1.$\displaystyle \sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}}=(3^3)^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}$
2. 2.따라서 $\displaystyle \log_3 3^{\frac{3}{2}}=\dfrac{3}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle f(x)=x^{10}$ 이라 하면 $\displaystyle f(1)=1$ 이므로 주어진 식은 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 이다.
2. 2.이는 미분계수의 정의에 의하여 $\displaystyle f'(1)$ 과 같다.
3. 3.$\displaystyle f'(x)=10x^9$ 이므로 $\displaystyle f'(1)=10$

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해설

1. 1.$\displaystyle \tan\theta=2$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta\ne 0$ 이다. 분모와 분자를 $\displaystyle \cos\theta$ 로 나눈다.
2. 2.$\displaystyle \dfrac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}+1}{\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-1}=\dfrac{\tan\theta+1}{\tan\theta-1}$
3. 3.$\displaystyle \tan\theta=2$ 를 대입하면 $\displaystyle \dfrac{2+1}{2-1}=3$

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해설

1. 1.$\displaystyle x=3$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 3}f(x)=f(3)=k$ 이어야 한다.
2. 2.$\displaystyle x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ 이고 $\displaystyle x\ne 3$ 이므로 약분하면 $\displaystyle f(x)=x+1$
3. 3.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 3}(x+1)=4$ 이므로 $\displaystyle k=4$

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+b$ 이고 $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=3$ 에서 극값을 가지므로 $\displaystyle f'(-1)=f'(3)=0$ 이다.
2. 2.즉 $\displaystyle -1$ 과 $\displaystyle 3$ 은 이차방정식 $\displaystyle 3x^2+2ax+b=0$ 의 두 근이므로, 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle -1+3=-\dfrac{2a}{3}$ , $\displaystyle (-1)\times 3=\dfrac{b}{3}$
3. 3.따라서 $\displaystyle a=-3$ , $\displaystyle b=-9$ 이고 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x$
4. 4.$\displaystyle f'(x)=3(x+1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
5. 5.극댓값 $\displaystyle f(-1)=-1-3+9=5$ , 극솟값 $\displaystyle f(3)=27-27-27=-27$
6. 6.따라서 차는 $\displaystyle 5-(-27)=32$

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해설

1. 1.먼저 정적분을 계산하면 $\displaystyle f(x)=\left[t^2-4t\right]_0^x=x^2-4x$
2. 2.$\displaystyle f'(x)=2x-4=0$ 에서 $\displaystyle x=2$
3. 3.$\displaystyle x<2$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle x>2$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이므로 $\displaystyle x=2$ 에서 최소이다.
4. 4.최솟값은 $\displaystyle f(2)=4-8=-4$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^3=4x$ 에서 $\displaystyle x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)=0$ 이므로 $\displaystyle x=-2,\,0,\,2$
2. 2.$\displaystyle -2<x<0$ 에서는 $\displaystyle x^3-4x>0$ (예: $\displaystyle x=-1$ 일 때 $\displaystyle -1+4=3>0$)이므로 곡선이 위에 있다.
3. 3.$\displaystyle 0<x<2$ 에서는 $\displaystyle 4x-x^3>0$ (예: $\displaystyle x=1$ 일 때 $\displaystyle 4-1=3>0$)이므로 직선이 위에 있다.
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$
5. 5.$\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}(4x-x^3)\,dx=\left[2x^2-\dfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{2}=8-4=4$
6. 6.따라서 넓이는 $\displaystyle 4+4=8$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle a_2=a_1+2\times 1=2+2=4$ , $\displaystyle a_3=a_2+2\times 2=4+4=8$ , $\displaystyle a_4=a_3+2\times 3=8+6=14$
2. 2.(2) 점화식 $\displaystyle a_{n+1}-a_n=2n$ 의 양변에 $\displaystyle n=1,\,2,\,\cdots,\,n-1$ 을 대입해 변끼리 더하면
3. 3.(2) $\displaystyle a_n-a_1=\sum\limits_{k=1}^{n-1}2k=2\times\dfrac{(n-1)n}{2}=n(n-1)$ (단, $\displaystyle n\ge 2$)
4. 4.(2) 따라서 $\displaystyle a_n=2+n(n-1)=n^2-n+2$
5. 5.(2) $\displaystyle n=1$ 일 때도 $\displaystyle 1-1+2=2=a_1$ 로 일치하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=n^2-n+2$
6. 6.(2) 검산: $\displaystyle a_4=16-4+2=14$ 로 (1)과 일치한다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=3$
2. 2.(2) $\displaystyle -1<x<3$ 에서 $\displaystyle (x+1)(x-3)<0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있다.
3. 3.(2) 따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{3}\{-(x^2-2x-3)\}\,dx=\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx$
4. 4.(2) $\displaystyle =\left[-\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x\right]_{-1}^{3}=(-9+9+9)-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)=9-\left(-\dfrac{5}{3}\right)$
5. 5.(2) $\displaystyle =9+\dfrac{5}{3}=\dfrac{27+5}{3}=\dfrac{32}{3}$

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