🛠️ 한기대 예상 논술 2회

해설

1. 1.같은 거듭제곱근끼리는 하나로 묶을 수 있다. $\displaystyle \sqrt[3]{54}\times\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{54\times 4}=\sqrt[3]{216}$
2. 2.$\displaystyle 216=6^3$ 이므로 $\displaystyle \sqrt[3]{216}=6$

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해설

1. 1.밑변환공식에 의하여 $\displaystyle \log_5 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 5}$
2. 2.따라서 $\displaystyle \log_2 5\times\dfrac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8=\log_2 2^3=3$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\to 2$ 일 때 분모와 분자가 모두 $\displaystyle 0$ 으로 가는 $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이므로 인수분해해 약분한다.
2. 2.$\displaystyle x^2-4=(x-2)(x+2)$ , $\displaystyle x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$
3. 3.$\displaystyle x\ne 2$ 이므로 $\displaystyle x-2$ 로 약분하면 $\displaystyle \dfrac{x+2}{x-1}$
4. 4.따라서 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{4}{1}=4$

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해설

1. 1.$\displaystyle x=0$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}f(x)=f(0)=a$ 이어야 한다.
2. 2.분자를 유리화하면 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\dfrac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\dfrac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}$
3. 3.$\displaystyle x\ne 0$ 이므로 약분하면 $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}$
4. 4.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle a=\dfrac{1}{2}$

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해설

1. 1.사인법칙에 의하여 외접원의 반지름 $\displaystyle R$ 에 대하여 $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}=2R$
2. 2.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=2R\sin A$
3. 3.$\displaystyle R=5$ , $\displaystyle \sin A=\dfrac{3}{5}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=2\times 5\times\dfrac{3}{5}=6$

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해설

1. 1.점 $\displaystyle (0,\,-1)$ 은 곡선 위의 점이 아니므로 접점을 미지수로 놓는다. 접점을 $\displaystyle (t,\,t^2)$ 이라 하자.
2. 2.$\displaystyle y'=2x$ 이므로 접점에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 2t$ 이고, 접선의 방정식은 $\displaystyle y-t^2=2t(x-t)$
3. 3.이 직선이 점 $\displaystyle (0,\,-1)$ 을 지나므로 $\displaystyle -1-t^2=2t(0-t)=-2t^2$
4. 4.정리하면 $\displaystyle t^2=1$ , 즉 $\displaystyle t=1$ 또는 $\displaystyle t=-1$
5. 5.$\displaystyle t=1$ 일 때 $\displaystyle y-1=2(x-1)$ , 즉 $\displaystyle y=2x-1$
6. 6.$\displaystyle t=-1$ 일 때 $\displaystyle y-1=-2(x+1)$ , 즉 $\displaystyle y=-2x-1$

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해설

1. 1.적분 구간이 원점에 대하여 대칭이므로 기함수와 우함수로 나누어 계산한다.
2. 2.$\displaystyle x^3$ 과 $\displaystyle -2x$ 는 기함수이므로 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\,dx=0$ , $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}(-2x)\,dx=0$
3. 3.$\displaystyle 3x^2$ 과 $\displaystyle 1$ 은 우함수이므로 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}(3x^2+1)\,dx=2\displaystyle\int_{0}^{2}(3x^2+1)\,dx$
4. 4.$\displaystyle =2\left[x^3+x\right]_0^2=2(8+2)=20$

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해설

1. 1.밑면인 정사각형의 한 변의 길이를 $\displaystyle x$ , 높이를 $\displaystyle h$ 라 하면 $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle h>0$ 이다.
2. 2.겉넓이는 밑면 두 개와 옆면 네 개이므로 $\displaystyle 2x^2+4xh=54$ , 즉 $\displaystyle h=\dfrac{27-x^2}{2x}$
3. 3.$\displaystyle h>0$ 이므로 $\displaystyle 27-x^2>0$ , 즉 $\displaystyle 0<x<3\sqrt{3}$
4. 4.부피는 $\displaystyle V=x^2h=x^2\times\dfrac{27-x^2}{2x}=\dfrac{27x-x^3}{2}$
5. 5.$\displaystyle \dfrac{dV}{dx}=\dfrac{27-3x^2}{2}=0$ 에서 $\displaystyle x=3$ 이고, $\displaystyle 0<x<3$ 에서 $\displaystyle V'>0$ , $\displaystyle 3<x<3\sqrt{3}$ 에서 $\displaystyle V'<0$ 이므로 $\displaystyle x=3$ 에서 최대이다.
6. 6.따라서 최댓값은 $\displaystyle V=\dfrac{27\times 3-27}{2}=\dfrac{54}{2}=27$

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle n=1$ 일 때 $\displaystyle S_1=a_1$ 이므로 $\displaystyle a_1=2a_1-3$ 에서 $\displaystyle a_1=3$
2. 2.(2) $\displaystyle n\ge 2$ 일 때 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=(2a_n-3)-(2a_{n-1}-3)=2a_n-2a_{n-1}$
3. 3.(2) 정리하면 $\displaystyle a_n=2a_{n-1}$ 이므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 $\displaystyle n\ge 2$ 에서 공비가 $\displaystyle 2$ 인 등비수열이다.
4. 4.(2) 첫째항이 $\displaystyle a_1=3$ 이므로 $\displaystyle a_n=3\times 2^{n-1}$
5. 5.(2) 검산: $\displaystyle S_3=3+6+12=21$ 이고 $\displaystyle 2a_3-3=24-3=21$ 로 일치한다.

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해설

1. 1.(1) $\displaystyle x^2-2x=x(x-2)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$
2. 2.(2) $\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle x^2-2x<0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있고, $\displaystyle 2<x<3$ 에서 $\displaystyle x^2-2x>0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 위에 있다.
3. 3.(2) 따라서 넓이는 두 구간으로 나누어 계산한다.
4. 4.(2) $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$
5. 5.(2) $\displaystyle \displaystyle\int_2^3(x^2-2x)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-x^2\right]_2^3=(9-9)-\left(\dfrac{8}{3}-4\right)=\dfrac{4}{3}$
6. 6.(2) 따라서 넓이는 $\displaystyle \dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$

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