외대(글로벌) 예상 논술 3회 · 태랑이 대학가기

1번10점수학Ⅰ · 로그의 성질

$\displaystyle \log_{\sqrt{2}}8+\log_{4}\dfrac{1}{16}-\log_{3}\sqrt[3]{9}$ 의 값을 구하시오. 답만 쓰면 점수를 받을 수 없으므로 풀이 과정을 설명하시오.

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정답 · $\displaystyle \dfrac{10}{3}$

해설

1.[도입] 밑과 진수를 모두 소인수의 거듭제곱으로 고친 뒤 $\displaystyle \log_{a^{m}}b^{n}=\dfrac{n}{m}\log_a b$ 를 쓴다.
2.[전개] $\displaystyle \log_{\sqrt{2}}8=\log_{2^{\frac{1}{2}}}2^{3}=\dfrac{3}{\frac{1}{2}}\log_2 2=6$
3.[전개] $\displaystyle \log_{4}\dfrac{1}{16}=\log_{2^{2}}2^{-4}=\dfrac{-4}{2}\log_2 2=-2$
4.[전개] $\displaystyle \log_{3}\sqrt[3]{9}=\log_{3}3^{\frac{2}{3}}=\dfrac{2}{3}$
5.[결론] 따라서 주어진 식의 값은 $\displaystyle 6+(-2)-\dfrac{2}{3}=4-\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$ 이다.

채점 포인트

1	[도입] 밑과 진수를 같은 소인수의 거듭제곱으로 고치겠다는 방침을 밝힌 경우	3
2	[전개] 세 항의 값 $\displaystyle 6$ , $\displaystyle -2$ , $\displaystyle \dfrac{2}{3}$ 을 각각 바르게 구한 경우	5
3	[결론] $\displaystyle \dfrac{10}{3}$	2
계		10

실전 조언 · 밑이 $\displaystyle \sqrt{2}$ 나 $\displaystyle 4$ 일 때 $\displaystyle \log_{a^{m}}b^{n}=\dfrac{n}{m}\log_a b$ 를 쓰면 한 줄로 끝난다. 밑변환 공식으로 돌아가면 계산이 세 배 길어진다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 24번

2번12점수학Ⅱ · 함수의 연속

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음과 같이 정의되어 있다.

(가) $\displaystyle f(x)=x^{2}+ax$ ( $\displaystyle x\le 1$ ), $\displaystyle f(x)=b(x-1)+3$ ( $\displaystyle x>1$ )

(나) $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=1$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(2)=7$ 이다.

두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하고 $\displaystyle f(0)+f(3)$ 의 값을 구하시오. 답만 쓰면 점수를 받을 수 없으므로 풀이 과정을 설명하시오.

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정답 · $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=4$ , $\displaystyle f(0)+f(3)=11$

해설

1.[도입] $\displaystyle x=1$ 에서 연속이려면 좌극한·우극한·함숫값이 모두 같아야 한다. 이것으로 $\displaystyle a$ 를, $\displaystyle f(2)=7$ 로 $\displaystyle b$ 를 정한다.
2.[전개] $\displaystyle x\to 1^{-}$ 에서 $\displaystyle f(x)\to 1+a$ 이고, $\displaystyle x\to 1^{+}$ 에서 $\displaystyle f(x)\to b\times 0+3=3$ 이다. 또 $\displaystyle f(1)=1+a$ 이다.
3.[전개] 연속이므로 $\displaystyle 1+a=3$ , 즉 $\displaystyle a=2$ 이다.
4.[전개] $\displaystyle f(2)=b(2-1)+3=b+3=7$ 이므로 $\displaystyle b=4$ 이다.
5.[전개] $\displaystyle f(0)=0^{2}+2\times 0=0$ 이고 $\displaystyle f(3)=4\times(3-1)+3=11$ 이다.
6.[결론] 따라서 $\displaystyle f(0)+f(3)=0+11=11$ 이다.

채점 포인트

1	[도입] 연속의 정의를 좌극한·우극한·함숫값으로 정확히 쓴 경우	4
2	[전개] $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=4$ 를 구한 경우	6
3	[결론] $\displaystyle f(0)+f(3)=11$	2
계		12

실전 조언 · $\displaystyle f(0)$ 은 $\displaystyle x\le 1$ 쪽 식, $\displaystyle f(3)$ 은 $\displaystyle x>1$ 쪽 식에 넣는다. 구간을 바꿔 대입하는 것이 이 유형의 유일한 실수다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 02. 함수의 연속 19번

3번13점수학Ⅰ · 코사인법칙, 삼각형의 넓이

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=7$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=5$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=3$

가장 큰 각의 크기와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이, 외접원의 반지름의 길이를 구하시오. 답만 쓰면 점수를 받을 수 없으므로 풀이 과정을 설명하시오.

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정답 · 가장 큰 각 $\displaystyle C=\dfrac{2\pi}{3}$ , 넓이 $\displaystyle \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$ , 외접원의 반지름 $\displaystyle \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$

해설

1.[도입] 가장 큰 각은 가장 긴 변의 대각이다. 가장 긴 변이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=7$ 이므로 그 대각인 $\displaystyle C$ 를 코사인법칙으로 구한다.
2.[전개] $\displaystyle \cos C=\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}^{2}+\overline{\mathrm{CA}}^{2}-\overline{\mathrm{AB}}^{2}}{2\times\overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{CA}}}=\dfrac{25+9-49}{2\times 5\times 3}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac{1}{2}$
3.[전개] $\displaystyle 0<C<\pi$ 이고 $\displaystyle \cos C=-\dfrac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle C=\dfrac{2\pi}{3}$ 이고 $\displaystyle \sin C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이다.
4.[전개] 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\times\overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{CA}}\times\sin C=\dfrac{1}{2}\times 5\times 3\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$
5.[결론] 사인법칙에서 $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C}=2R$ 이므로 $\displaystyle 2R=\dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{14}{\sqrt{3}}$ , 즉 $\displaystyle R=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ 이다.

채점 포인트

1	[도입] 가장 큰 각이 가장 긴 변의 대각임을 밝히고 $\displaystyle C$ 를 대상으로 잡은 경우	4
2	[전개] $\displaystyle \cos C=-\dfrac{1}{2}$ 에서 $\displaystyle C=\dfrac{2\pi}{3}$ 을 구하고 넓이 $\displaystyle \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$ 를 구한 경우	7
3	[결론] $\displaystyle R=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$	2
계		13

실전 조언 · $\displaystyle \cos C$ 가 음수로 나오면 둔각이라는 신호다. 각을 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$ 으로 잘못 적으면 넓이까지 전부 틀린다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 04. 사인법칙과 코사인법칙 18번

4번14점수학Ⅱ · 정적분

다항함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=3x^{2}+x\displaystyle\int_0^1 f(t)dt$

$\displaystyle f(x)$ 를 구하고 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 f(x)dx$ 의 값을 구하시오. 답만 쓰면 점수를 받을 수 없으므로 풀이 과정을 설명하시오.

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정답 · $\displaystyle f(x)=3x^{2}+2x$ , $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 f(x)dx=12$

해설

1.[도입] $\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f(t)dt$ 는 $\displaystyle x$ 와 무관한 상수이므로 이를 $\displaystyle k$ 로 놓고 식을 다시 쓴다.
2.[전개] $\displaystyle k=\displaystyle\int_0^1 f(t)dt$ 라 하면 $\displaystyle f(x)=3x^{2}+kx$ 이다.
3.[전개] 이 식을 $\displaystyle k$ 의 정의에 대입하면 $\displaystyle k=\displaystyle\int_0^1\left(3t^{2}+kt\right)dt=\left[t^{3}+\dfrac{k t^{2}}{2}\right]_0^1=1+\dfrac{k}{2}$ 이다.
4.[전개] $\displaystyle k-\dfrac{k}{2}=1$ 에서 $\displaystyle \dfrac{k}{2}=1$ , 즉 $\displaystyle k=2$ 이므로 $\displaystyle f(x)=3x^{2}+2x$ 이다.
5.[결론] $\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(3x^{2}+2x\right)dx=\left[x^{3}+x^{2}\right]_0^2=8+4=12$ 이다.

채점 포인트

1	[도입] 정적분이 상수임을 밝히고 $\displaystyle k$ 로 치환한 경우	4
2	[전개] $\displaystyle k=1+\dfrac{k}{2}$ 를 세워 $\displaystyle k=2$ 를 구하고 $\displaystyle f(x)=3x^{2}+2x$ 를 얻은 경우	8
3	[결론] $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 f(x)dx=12$	2
계		14

실전 조언 · 적분 변수가 $\displaystyle t$ 이고 적분 구간이 상수이면 그 정적분은 수 하나다. "상수이므로 $\displaystyle k$ 로 놓는다"는 한 줄이 도입 점수 전부다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 정적분 28번

5번16점수학Ⅰ · 수열의 합

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 다음을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_k=2^{n}-1$

다음 물음에 답하시오. 답만 쓰면 점수를 받을 수 없으므로 풀이 과정을 설명하시오.

(1) 일반항 $\displaystyle a_n$ 을 구하시오.

(2) $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\left(a_k\right)^{2}$ 의 값을 구하시오.

(3) $\displaystyle a_n>1000$ 을 만족시키는 최소의 자연수 $\displaystyle n$ 을 구하시오.

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정답 · (1) $\displaystyle a_n=2^{n-1}$ (2) $\displaystyle \dfrac{4^{10}-1}{3}=349525$ (3) $\displaystyle 11$

해설

1.[도입] 부분합이 주어졌으므로 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}$ ( $\displaystyle n\ge 2$ )로 일반항을 구하고 $\displaystyle n=1$ 을 따로 확인한다.
2.[전개] $\displaystyle n\ge 2$ 일 때 $\displaystyle a_n=\left(2^{n}-1\right)-\left(2^{n-1}-1\right)=2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$ 이다.
3.[전개] $\displaystyle n=1$ 일 때 $\displaystyle a_1=S_1=2-1=1$ 이고 $\displaystyle 2^{0}=1$ 로 일치하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=2^{n-1}$ 이다.
4.[전개] $\displaystyle \left(a_k\right)^{2}=\left(2^{k-1}\right)^{2}=4^{k-1}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}4^{k-1}$ 은 첫째항 $\displaystyle 1$ , 공비 $\displaystyle 4$ 인 등비수열의 합이다.
5.[전개] $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}4^{k-1}=\dfrac{4^{10}-1}{4-1}=\dfrac{1048576-1}{3}=349525$
6.[결론] $\displaystyle a_n=2^{n-1}>1000$ 에서 $\displaystyle 2^{9}=512<1000$ , $\displaystyle 2^{10}=1024>1000$ 이므로 $\displaystyle n-1\ge 10$ , 즉 최소의 자연수는 $\displaystyle n=11$ 이다.

채점 포인트

1	[도입] $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}$ 을 쓰고 $\displaystyle n=1$ 을 따로 확인한다고 밝힌 경우	5
2	[전개] $\displaystyle a_n=2^{n-1}$ 을 구하고 제곱한 수열이 공비 $\displaystyle 4$ 인 등비수열임을 밝혀 $\displaystyle 349525$ 를 구한 경우	9
3	[결론] 최소의 자연수 $\displaystyle n=11$	2
계		16

실전 조언 · 등비수열을 제곱하면 공비가 제곱된 등비수열이다. 이 성질을 쓰면 (2)가 합 공식 한 줄로 끝난다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적귀납법 24번

6번17점수학Ⅱ · 도함수의 활용

한 변의 길이가 $\displaystyle 12$ 인 정사각형 모양의 판지가 있다. 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 $\displaystyle x$ 인 정사각형을 각각 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만든다. 다음 물음에 답하시오. 답만 쓰면 점수를 받을 수 없으므로 풀이 과정을 설명하시오.

(1) 상자의 부피 $\displaystyle V$ 를 $\displaystyle x$ 에 대한 식으로 나타내고 $\displaystyle x$ 의 범위를 구하시오.

(2) $\displaystyle \dfrac{dV}{dx}$ 를 구하고 $\displaystyle V$ 가 극값을 갖는 $\displaystyle x$ 의 값을 구하시오.

(3) 부피의 최댓값을 구하시오.

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정답 · (1) $\displaystyle V=x(12-2x)^{2}$ , $\displaystyle 0<x<6$ (2) $\displaystyle \dfrac{dV}{dx}=(12-2x)(12-6x)$ , $\displaystyle x=2$ (3) $\displaystyle 128$

해설

1.[도입] 밑면은 한 변이 $\displaystyle 12-2x$ 인 정사각형이고 높이가 $\displaystyle x$ 이다. 부피를 $\displaystyle x$ 의 식으로 쓴 뒤 미분한다.
2.[전개] $\displaystyle V=x(12-2x)^{2}$ 이고, 밑면의 한 변이 양수여야 하므로 $\displaystyle 12-2x>0$ 이고 $\displaystyle x>0$ 이다. 즉 $\displaystyle 0<x<6$ 이다.
3.[전개] 곱의 미분법에 의하여 $\displaystyle \dfrac{dV}{dx}=(12-2x)^{2}+x\times 2(12-2x)\times(-2)=(12-2x)\{(12-2x)-4x\}=(12-2x)(12-6x)$
4.[전개] $\displaystyle 0<x<6$ 에서 $\displaystyle 12-2x>0$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{dV}{dx}=0$ 은 $\displaystyle 12-6x=0$ , 즉 $\displaystyle x=2$ 에서만 성립한다.
5.[전개] $\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle 12-6x>0$ 이므로 $\displaystyle V$ 는 증가하고, $\displaystyle 2<x<6$ 에서 $\displaystyle 12-6x<0$ 이므로 감소한다. 따라서 $\displaystyle x=2$ 에서 극대이다.
6.[결론] 최댓값은 $\displaystyle V(2)=2\times(12-4)^{2}=2\times 64=128$ 이다.

채점 포인트

1	[도입] 밑면의 한 변을 $\displaystyle 12-2x$ , 높이를 $\displaystyle x$ 로 잡아 부피식을 세운 경우	5
2	[전개] 미분해 $\displaystyle (12-2x)(12-6x)$ 를 얻고 범위에서 $\displaystyle x=2$ 만 남김을 밝힌 경우	10
3	[결론] 최댓값 $\displaystyle 128$	2
계		17

실전 조언 · $\displaystyle x$ 의 범위 $\displaystyle 0<x<6$ 을 먼저 쓰면 $\displaystyle x=6$ 이라는 가짜 후보를 자동으로 걸러낸다. 범위를 쓰지 않으면 후보를 버린 근거가 없어 감점된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 05. 도함수의 활용 30번

7번18점수학Ⅱ · 정적분과 넓이

곡선과 직선이 다음과 같다.

(가) 곡선 $\displaystyle y=x^{2}-2x$

(나) 직선 $\displaystyle y=k$ ( $\displaystyle k>0$ )

다음 물음에 답하시오. 답만 쓰면 점수를 받을 수 없으므로 풀이 과정을 설명하시오.

(1) 곡선 (가)와 직선 (나)의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle k$ 로 나타내시오.

(2) 곡선 (가)와 직선 (나)로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle k$ 로 나타내시오.

(3) 그 넓이가 $\displaystyle 36$ 일 때 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오.

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정답 · (1) $\displaystyle x=1\pm\sqrt{1+k}$ (2) $\displaystyle \dfrac{4}{3}(1+k)^{\frac{3}{2}}$ (3) $\displaystyle k=8$

해설

1.[도입] 곡선을 완전제곱해 꼭짓점을 $\displaystyle (1,\,-1)$ 로 보면 도형이 직선 $\displaystyle x=1$ 에 대하여 대칭이다. $\displaystyle x-1=u$ 로 평행이동해 계산을 줄인다.
2.[전개] 교점은 $\displaystyle x^{2}-2x=k$ , 즉 $\displaystyle (x-1)^{2}=1+k$ 에서 $\displaystyle x-1=\pm\sqrt{1+k}$ 이므로 $\displaystyle x=1\pm\sqrt{1+k}$ 이다. $\displaystyle k>0$ 이므로 교점은 항상 두 개다.
3.[전개] $\displaystyle c=\sqrt{1+k}$ , $\displaystyle u=x-1$ 로 놓으면 두 교점은 $\displaystyle u=\pm c$ 이고, 곡선은 $\displaystyle y=u^{2}-1$ , 직선은 $\displaystyle y=k=c^{2}-1$ 이다.
4.[전개] $\displaystyle -c<u<c$ 에서 직선이 곡선보다 위에 있으므로 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-c}^{c}\left\{\left(c^{2}-1\right)-\left(u^{2}-1\right)\right\}du=\displaystyle\int_{-c}^{c}\left(c^{2}-u^{2}\right)du$
5.[전개] $\displaystyle =\left[c^{2}u-\dfrac{u^{3}}{3}\right]_{-c}^{c}=2\left(c^{3}-\dfrac{c^{3}}{3}\right)=\dfrac{4}{3}c^{3}=\dfrac{4}{3}(1+k)^{\frac{3}{2}}$
6.[결론] $\displaystyle \dfrac{4}{3}(1+k)^{\frac{3}{2}}=36$ 에서 $\displaystyle (1+k)^{\frac{3}{2}}=27$ 이므로 $\displaystyle 1+k=9$ , 즉 $\displaystyle k=8$ 이다.

채점 포인트

1	[도입] 대칭축이 $\displaystyle x=1$ 임을 밝히고 평행이동으로 계산을 줄이겠다고 쓴 경우	5
2	[전개] 교점을 구하고 적분해 넓이 $\displaystyle \dfrac{4}{3}(1+k)^{\frac{3}{2}}$ 를 얻은 경우	11
3	[결론] $\displaystyle k=8$	2
계		18

실전 조언 · $\displaystyle (1+k)^{\frac{3}{2}}=27$ 에서 양변을 $\displaystyle \dfrac{2}{3}$ 제곱하면 $\displaystyle 1+k=27^{\frac{2}{3}}=9$ 다. 거듭제곱 지수를 다루는 이 마지막 한 줄이 결론 점수다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 32번

🌏 외대(글로벌) 예상 논술 3회

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