🌏 외대(글로벌) 예상 논술 2회

해설

1. 1.[도입] $\displaystyle a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}$ 을 한 덩어리로 보고 제곱·세제곱하여 곱셈공식을 쓴다.
2. 2.[전개] 양변을 제곱하면 $\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}=a+2\times a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}}+a^{-1}=a+a^{-1}+2$ 이다.
3. 3.[전개] 따라서 $\displaystyle a+a^{-1}+2=9$ 이므로 $\displaystyle a+a^{-1}=7$ 이다.
4. 4.[전개] 세제곱하면 $\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}\right)^{3}=a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}+3\left(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}\right)$ 이다.
5. 5.[결론] $\displaystyle 27=a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}+3\times 3$ 이므로 $\displaystyle a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}=27-9=18$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x$ 를 대입해 $\displaystyle \sin x$ 만의 이차방정식으로 바꾼다.
2. 2.[전개] $\displaystyle 2\left(1-\sin^{2}x\right)+\sin x-1=0$ 에서 $\displaystyle -2\sin^{2}x+\sin x+1=0$ , 즉 $\displaystyle 2\sin^{2}x-\sin x-1=0$ 이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle \sin x=s$ 로 놓으면 $\displaystyle 2s^{2}-s-1=(2s+1)(s-1)=0$ 이므로 $\displaystyle s=-\dfrac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle s=1$ 이다. 두 값 모두 $\displaystyle -1\le s\le 1$ 을 만족시킨다.
4. 4.[전개] $\displaystyle \sin x=1$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle 0\le x<2\pi$ 에서 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ 하나이다.
5. 5.[전개] $\displaystyle \sin x=-\dfrac{1}{2}$ 인 $\displaystyle x$ 는 제 $\displaystyle 3$ 사분면과 제 $\displaystyle 4$ 사분면에 있으므로 $\displaystyle x=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}$ , $\displaystyle x=2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$ 이다.
6. 6.[결론] 모든 해의 합은 $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{7\pi}{6}+\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{3\pi+7\pi+11\pi}{6}=\dfrac{21\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{2}$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 조건 (가)에서 분모가 $\displaystyle 0$ 으로 가므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle f(1)=0$ 이다. 이것과 (나)를 함께 써서 계수를 정한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ ( $\displaystyle a\ne 0$ )라 하면 (나)에서 $\displaystyle c=-2$ 이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle f(1)=a+b+c=0$ 이므로 $\displaystyle a+b=2$ 이다.
4. 4.[전개] $\displaystyle f(1)=0$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)=3$ 이다. $\displaystyle f'(x)=2ax+b$ 이므로 $\displaystyle 2a+b=3$ 이다.
5. 5.[전개] 두 식을 연립하면 $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=1$ 이므로 $\displaystyle f(x)=x^{2}+x-2$ 이다.
6. 6.[결론] $\displaystyle f(3)=9+3-2=10$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 삼차함수의 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 두 점에서 만나는 것은 극값 중 하나가 $\displaystyle 0$ 인 경우뿐이다. 극값을 $\displaystyle a$ 로 나타낸 뒤 $\displaystyle 0$ 이 되게 한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$ 이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle f'$ 의 부호가 양 → 음 → 양이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
4. 4.[전개] 극댓값은 $\displaystyle f(0)=a$ , 극솟값은 $\displaystyle f(2)=8-12+a=a-4$ 이다.
5. 5.[전개] 그래프가 $\displaystyle x$ 축과 두 점에서 만나려면 (극댓값) $\displaystyle \times$ (극솟값) $\displaystyle =0$ 이어야 한다. 즉 $\displaystyle a(a-4)=0$ 이다.
6. 6.[결론] 따라서 $\displaystyle a=0$ 또는 $\displaystyle a=4$ 이다. $\displaystyle a=0$ 이면 $\displaystyle x=0$ 이 중근, $\displaystyle a=4$ 이면 $\displaystyle x=2$ 가 중근인 경우이다.

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해설

1. 1.[도입] 등비수열에서는 $\displaystyle a_2 a_4=a_3^{2}$ 이다. 이 성질로 $\displaystyle a_3$ 을 먼저 확정한 뒤 공비를 구한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle a_2=a_3 r^{-1}$ , $\displaystyle a_4=a_3 r$ 이므로 $\displaystyle a_2 a_4=a_3^{2}=36$ 이다. 모든 항이 양수이므로 $\displaystyle a_3=6$ 이다.
3. 3.[전개] (나)에서 $\displaystyle a_5=30-a_3=24$ 이고, $\displaystyle a_5=a_3 r^{2}$ 이므로 $\displaystyle r^{2}=\dfrac{24}{6}=4$ 이다.
4. 4.[전개] 모든 항이 양수이므로 $\displaystyle r>0$ , 즉 $\displaystyle r=2$ 이다.
5. 5.[전개] $\displaystyle a_3=a_1 r^{2}=4a_1=6$ 이므로 $\displaystyle a_1=\dfrac{3}{2}$ 이다.
6. 6.[결론] $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{6}a_k=\dfrac{a_1\left(r^{6}-1\right)}{r-1}=\dfrac{\frac{3}{2}\left(64-1\right)}{1}=\dfrac{3\times 63}{2}=\dfrac{189}{2}$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 계차가 $\displaystyle 2n$ 으로 주어졌으므로 $\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}2k$ 로 계산한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle a_2=a_1+2\times 1=5$ , $\displaystyle a_3=a_2+2\times 2=9$ 이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle n\ge 2$ 일 때 $\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}2k=3+2\times\dfrac{(n-1)n}{2}=3+n(n-1)=n^{2}-n+3$ 이다.
4. 4.[전개] $\displaystyle n=1$ 일 때도 $\displaystyle 1-1+3=3=a_1$ 로 일치하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=n^{2}-n+3$ 이다.
5. 5.[전개] $\displaystyle a_n>100$ 은 $\displaystyle n^{2}-n+3>100$ , 즉 $\displaystyle n^{2}-n-97>0$ 이다.
6. 6.[결론] $\displaystyle n=10$ 이면 $\displaystyle 100-10-97=-7<0$ 이고 $\displaystyle n=11$ 이면 $\displaystyle 121-11-97=13>0$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle n=11$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 두 그래프가 모두 원점에 대하여 대칭인 기함수이므로, $\displaystyle x>0$ 쪽 한 부분의 넓이를 구해 $\displaystyle 2$ 배 한다.
2. 2.[전개] 교점은 $\displaystyle x^{3}-4x=mx$ 에서 $\displaystyle x\left(x^{2}-4-m\right)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x^{2}=m+4$ , 즉 $\displaystyle x=\pm\sqrt{m+4}$ 이다. $\displaystyle m>0$ 이므로 세 교점이 모두 존재한다.
3. 3.[전개] $\displaystyle c=\sqrt{m+4}$ 라 하자. $\displaystyle 0<x<c$ 에서 $\displaystyle mx-\left(x^{3}-4x\right)=(m+4)x-x^{3}=x\left(c^{2}-x^{2}\right)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
4. 4.[전개] 한 부분의 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^{c}\left\{(m+4)x-x^{3}\right\}dx=\left[\dfrac{c^{2}x^{2}}{2}-\dfrac{x^{4}}{4}\right]_0^{c}=\dfrac{c^{4}}{2}-\dfrac{c^{4}}{4}=\dfrac{c^{4}}{4}$ 이다.
5. 5.[전개] 대칭이므로 두 부분의 넓이의 합은 $\displaystyle 2\times\dfrac{c^{4}}{4}=\dfrac{c^{4}}{2}=\dfrac{(m+4)^{2}}{2}$ 이다.
6. 6.[결론] $\displaystyle \dfrac{(m+4)^{2}}{2}=\dfrac{81}{2}$ 에서 $\displaystyle (m+4)^{2}=81$ 이고 $\displaystyle m>0$ 이므로 $\displaystyle m+4=9$ , 즉 $\displaystyle m=5$ 이다.

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