🌏 외대(글로벌) 예상 논술 1회

해설

1. 1.[도입] 등차수열의 일반항은 첫째항 $\displaystyle a$ 와 공차 $\displaystyle d$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=a+(n-1)d$ 이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle a_3=a+2d=7$ , $\displaystyle a_7=a+6d=19$ 이므로 두 식을 빼면 $\displaystyle 4d=12$ , 즉 $\displaystyle d=3$ 이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle a+2\times 3=7$ 에서 $\displaystyle a=1$ 이다.
4. 4.[전개] 등차수열의 합 공식 $\displaystyle S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ 에 $\displaystyle n=10$ , $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle d=3$ 을 대입하면
5. 5.[결론] $\displaystyle S_{10}=\dfrac{10(2\times 1+9\times 3)}{2}=5\times 29=145$

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해설

1. 1.[도입] 로그가 정의되려면 진수가 양수여야 한다. $\displaystyle x-1>0$ 이고 $\displaystyle x+3>0$ 이므로 $\displaystyle x>1$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
2. 2.[전개] 로그의 성질에 의하여 좌변은 $\displaystyle \log_2\{(x-1)(x+3)\}$ 이고, 밑 $\displaystyle 2$ 가 $\displaystyle 1$ 보다 크므로 부등호 방향이 유지된다.
3. 3.[전개] $\displaystyle \log_2\{(x-1)(x+3)\}\le 5=\log_2 32$ 에서 $\displaystyle (x-1)(x+3)\le 32$
4. 4.[전개] $\displaystyle x^2+2x-35\le 0$ , $\displaystyle (x+7)(x-5)\le 0$ 이므로 $\displaystyle -7\le x\le 5$ $\displaystyle \cdots$ ㉡
5. 5.[전개] ㉠과 ㉡의 공통 범위는 $\displaystyle 1<x\le 5$
6. 6.[결론] 이 범위의 정수는 $\displaystyle 2,\,3,\,4,\,5$ 의 $\displaystyle 4$ 개이다.

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해설

1. 1.[도입] 넓이를 구하려면 먼저 곡선과 직선의 교점을 찾고, 구간에서 어느 쪽이 위에 있는지 판정해야 한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle x^2-4x+3=x-1$ 에서 $\displaystyle x^2-5x+4=0$ , $\displaystyle (x-1)(x-4)=0$ 이므로 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=4$
3. 3.[전개] $\displaystyle 1<x<4$ 에서 $\displaystyle (x-1)-(x^2-4x+3)=-x^2+5x-4=-(x-1)(x-4)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
4. 4.[전개] 따라서 넓이 $\displaystyle S=\displaystyle\int_1^4\{(x-1)-(x^2-4x+3)\}\,dx=\int_1^4(-x^2+5x-4)\,dx$
5. 5.[전개] $\displaystyle =\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{5}{2}x^2-4x\right]_1^4=\left(-\dfrac{64}{3}+40-16\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{2}-4\right)=\dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{11}{6}\right)$
6. 6.[결론] $\displaystyle S=\dfrac{16}{6}+\dfrac{11}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$

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해설

1. 1.[도입] 닫힌구간에서의 최대·최소는 극값과 양 끝 값을 모두 비교해야 한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=3$ 이고 두 값 모두 구간 $\displaystyle [0,\,4]$ 안에 있다.
3. 3.[전개] $\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle 1<x<3$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle 3<x<4$ 에서 $\displaystyle f'>0$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
4. 4.[전개] $\displaystyle f(0)=1$ , $\displaystyle f(1)=1-6+9+1=5$ , $\displaystyle f(3)=27-54+27+1=1$ , $\displaystyle f(4)=64-96+36+1=5$
5. 5.[전개] 네 값을 비교하면 $\displaystyle M=5$ , $\displaystyle m=1$
6. 6.[결론] $\displaystyle M+m=5+1=6$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=2$ 에서도 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3+ax+b}{x-2}$ 가 존재해야 한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle x\to 2$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 인데 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle 8+2a+b=0$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
3. 3.[전개] $\displaystyle f(0)=\dfrac{0+0+b}{0-2}=-\dfrac{b}{2}=3$ 이므로 $\displaystyle b=-6$
4. 4.[전개] ㉠에 대입하면 $\displaystyle 8+2a-6=0$ 에서 $\displaystyle a=-1$
5. 5.[전개] 따라서 분자는 $\displaystyle x^3-x-6$ 이고, $\displaystyle x=2$ 가 근이므로 조립제법 또는 인수정리에 의하여 $\displaystyle x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+3)$
6. 6.[전개] $\displaystyle x\ne 2$ 에서 $\displaystyle f(x)=x^2+2x+3$ 이고, $\displaystyle f$ 가 연속이므로 $\displaystyle f(2)=\lim\limits_{x\to 2}(x^2+2x+3)$
7. 7.[결론] $\displaystyle f(2)=4+4+3=11$

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해설

1. 1.[도입] 두 변과 그 끼인각을 알고 있으므로 나머지 한 변은 코사인법칙으로, 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{2}bc\sin A$ 로 구한다.
2. 2.[전개] 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2=\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2-2\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A$
3. 3.[전개] $\displaystyle =6^2+10^2-2\times 6\times 10\times\cos\dfrac{\pi}{3}=36+100-120\times\dfrac{1}{2}=136-60=76$
4. 4.[전개] 길이는 양수이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$
5. 5.[전개] 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\sin A=\dfrac{1}{2}\times 6\times 10\times\sin\dfrac{\pi}{3}$
6. 6.[결론] $\displaystyle =30\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \displaystyle\int_1^x f(t)\,dt$ 꼴은 두 가지를 쓴다. $\displaystyle x=1$ 을 대입하면 좌변이 $\displaystyle 0$ 이 되고, 양변을 $\displaystyle x$ 로 미분하면 좌변이 $\displaystyle f(x)$ 가 된다.
2. 2.[전개] (가)에 $\displaystyle x=1$ 을 대입하면 $\displaystyle 0=1+a-3+b$ 이므로 $\displaystyle a+b=2$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
3. 3.[전개] (가)의 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면 미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle f(x)=3x^2+2ax-3$
4. 4.[전개] 조건 (나) $\displaystyle f(1)=2$ 에서 $\displaystyle 3+2a-3=2$ 이므로 $\displaystyle a=1$
5. 5.[전개] ㉠에서 $\displaystyle b=2-a=1$ 이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=3x^2+2x-3$
6. 6.[전개] $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(3x^2+2x-3)\,dx=\left[x^3+x^2-3x\right]_0^2$
7. 7.[결론] $\displaystyle =(8+4-6)-0=6$

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